Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8047 / 3473
↖ ↑ ↗
← N 71.406172°
W  3.186035°		 ← 779.04 m → N 71.406172°
W  3.164063°		 →
↑
779.24 m
↓
↑
779.24 m
↓
N 71.399164°
W  3.186035°		 ← 779.32 m →
607 165 m²		 N 71.399164°
W  3.164063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8047 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3473 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.491180419921875 y=0.212005615234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.491180419921875 × 214)
    floor (0.491180419921875 × 16384)
    floor (8047.5)     		tx = 8047
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.212005615234375 × 214)
    floor (0.212005615234375 × 16384)
    floor (3473.5)     		ty = 3473
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8047 / 3473 ti = "14/8047/3473"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8047/3473.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8047 ÷ 214
    8047 ÷ 16384     		x = 0.49114990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3473 ÷ 214
    3473 ÷ 16384     		y = 0.21197509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49114990234375 × 2 - 1) × π
    -0.0177001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.05560680
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21197509765625 × 2 - 1) × π
    0.5760498046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.80971383445636
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05560680} λ = -0.05560680}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.80971383445636))-π/2
    2×atan(6.10869908288988)-π/2
    2×1.40853456692556-π/2
    2.81706913385112-1.57079632675     		φ = 1.24627281
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05560680} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.186035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24627281 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.406172°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8047 KachelY 3473 -0.05560680 1.24627281 -3.186035 71.406172
    Oben rechts KachelX + 1 8048 KachelY 3473 -0.05522331 1.24627281 -3.164063 71.406172
    Unten links KachelX 8047 KachelY + 1 3474 -0.05560680 1.24615050 -3.186035 71.399164
    Unten rechts KachelX + 1 8048 KachelY + 1 3474 -0.05522331 1.24615050 -3.164063 71.399164
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24627281-1.24615050) × R
    0.00012231000000007 × 6371000     		dl = 779.237010000445m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24627281-1.24615050) × R
    0.00012231000000007 × 6371000     		dr = 779.237010000445m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05560680--0.05522331) × cos(1.24627281) × R
    0.00038349 × 0.318857209971313 × 6371000     		do = 779.036651300048m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05560680--0.05522331) × cos(1.24615050) × R
    0.00038349 × 0.318973133342092 × 6371000     		du = 779.319876994042m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24627281)-sin(1.24615050))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318857209971313-0.318973133342092)×R²
    abs(-0.05522331--0.05560680)×0.000115923370779092×R²
    0.00038349×0.000115923370779092×6371000²
    0.00038349×0.000115923370779092×40589641000000     		ar = 607164.541568773m²