Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8046 / 9393
↖ ↑ ↗
← S 25.502785°
W  3.208008°		 ← 2 205.22 m → S 25.502785°
W  3.186035°		 →
↑
2 205 m
↓
↑
2 205 m
↓
S 25.522615°
W  3.208008°		 ← 2 204.85 m →
4 862 107 m²		 S 25.522615°
W  3.186035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8046 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9393 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.491119384765625 y=0.573333740234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.491119384765625 × 214)
    floor (0.491119384765625 × 16384)
    floor (8046.5)     		tx = 8046
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573333740234375 × 214)
    floor (0.573333740234375 × 16384)
    floor (9393.5)     		ty = 9393
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8046 / 9393 ti = "14/8046/9393"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8046/9393.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8046 ÷ 214
    8046 ÷ 16384     		x = 0.4910888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9393 ÷ 214
    9393 ÷ 16384     		y = 0.57330322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4910888671875 × 2 - 1) × π
    -0.017822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.05599030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57330322265625 × 2 - 1) × π
    -0.1466064453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.4605777315495
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05599030} λ = -0.05599030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.4605777315495))-π/2
    2×atan(0.630919038360901)-π/2
    2×0.562844384002131-π/2
    1.12568876800426-1.57079632675     		φ = -0.44510756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05599030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.208008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44510756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.502785°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8046 KachelY 9393 -0.05599030 -0.44510756 -3.208008 -25.502785
    Oben rechts KachelX + 1 8047 KachelY 9393 -0.05560680 -0.44510756 -3.186035 -25.502785
    Unten links KachelX 8046 KachelY + 1 9394 -0.05599030 -0.44545366 -3.208008 -25.522615
    Unten rechts KachelX + 1 8047 KachelY + 1 9394 -0.05560680 -0.44545366 -3.186035 -25.522615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44510756--0.44545366) × R
    0.00034609999999996 × 6371000     		dl = 2205.00309999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44510756--0.44545366) × R
    0.00034609999999996 × 6371000     		dr = 2205.00309999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05599030--0.05560680) × cos(-0.44510756) × R
    0.000383500000000002 × 0.902564360125396 × 6371000     		do = 2205.21609596065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05599030--0.05560680) × cos(-0.44545366) × R
    0.000383500000000002 × 0.90241529099888 × 6371000     		du = 2204.85187856882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44510756)-sin(-0.44545366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902564360125396-0.90241529099888)×R²
    abs(-0.05560680--0.05599030)×0.0001490691265158×R²
    0.000383500000000002×0.0001490691265158×6371000²
    0.000383500000000002×0.0001490691265158×40589641000000     		ar = 4862106.82605734m²