Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8045 / 4044
↖ ↑ ↗
← N 66.964476°
W  3.229980°		 ← 956.03 m → N 66.964476°
W  3.208008°		 →
↑
956.22 m
↓
↑
956.22 m
↓
N 66.955877°
W  3.229980°		 ← 956.37 m →
914 344 m²		 N 66.955877°
W  3.208008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8045 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.491058349609375 y=0.246856689453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.491058349609375 × 214)
    floor (0.491058349609375 × 16384)
    floor (8045.5)     		tx = 8045
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.246856689453125 × 214)
    floor (0.246856689453125 × 16384)
    floor (4044.5)     		ty = 4044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8045 / 4044 ti = "14/8045/4044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8045/4044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8045 ÷ 214
    8045 ÷ 16384     		x = 0.49102783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4044 ÷ 214
    4044 ÷ 16384     		y = 0.246826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49102783203125 × 2 - 1) × π
    -0.0179443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.05637379
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.246826171875 × 2 - 1) × π
    0.50634765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.59073807699194
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05637379} λ = -0.05637379}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.59073807699194))-π/2
    2×atan(4.90736960859092)-π/2
    2×1.3697734600434-π/2
    2.7395469200868-1.57079632675     		φ = 1.16875059
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05637379} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.229980°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16875059 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.964476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8045 KachelY 4044 -0.05637379 1.16875059 -3.229980 66.964476
    Oben rechts KachelX + 1 8046 KachelY 4044 -0.05599030 1.16875059 -3.208008 66.964476
    Unten links KachelX 8045 KachelY + 1 4045 -0.05637379 1.16860050 -3.229980 66.955877
    Unten rechts KachelX + 1 8046 KachelY + 1 4045 -0.05599030 1.16860050 -3.208008 66.955877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16875059-1.16860050) × R
    0.000150089999999992 × 6371000     		dl = 956.223389999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16875059-1.16860050) × R
    0.000150089999999992 × 6371000     		dr = 956.223389999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05637379--0.05599030) × cos(1.16875059) × R
    0.00038349 × 0.391301774494954 × 6371000     		do = 956.034282799316m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05637379--0.05599030) × cos(1.16860050) × R
    0.00038349 × 0.391439892273592 × 6371000     		du = 956.371734198848m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16875059)-sin(1.16860050))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.391301774494954-0.391439892273592)×R²
    abs(-0.05599030--0.05637379)×0.000138117778638536×R²
    0.00038349×0.000138117778638536×6371000²
    0.00038349×0.000138117778638536×40589641000000     		ar = 914343.684031204m²