Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8044 / 3474
↖ ↑ ↗
← N 71.399164°
W  3.251953°		 ← 779.34 m → N 71.399164°
W  3.229980°		 →
↑
779.43 m
↓
↑
779.43 m
↓
N 71.392155°
W  3.251953°		 ← 779.62 m →
607 550 m²		 N 71.392155°
W  3.229980°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8044 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3474 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.490997314453125 y=0.212066650390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.490997314453125 × 214)
    floor (0.490997314453125 × 16384)
    floor (8044.5)     		tx = 8044
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.212066650390625 × 214)
    floor (0.212066650390625 × 16384)
    floor (3474.5)     		ty = 3474
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8044 / 3474 ti = "14/8044/3474"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8044/3474.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8044 ÷ 214
    8044 ÷ 16384     		x = 0.490966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3474 ÷ 214
    3474 ÷ 16384     		y = 0.2120361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.490966796875 × 2 - 1) × π
    -0.01806640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.05675729
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2120361328125 × 2 - 1) × π
    0.575927734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.8093303392594
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05675729} λ = -0.05675729}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8093303392594))-π/2
    2×atan(6.10635687527331)-π/2
    2×1.40847341570803-π/2
    2.81694683141605-1.57079632675     		φ = 1.24615050
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05675729} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.251953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24615050 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.399164°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8044 KachelY 3474 -0.05675729 1.24615050 -3.251953 71.399164
    Oben rechts KachelX + 1 8045 KachelY 3474 -0.05637379 1.24615050 -3.229980 71.399164
    Unten links KachelX 8044 KachelY + 1 3475 -0.05675729 1.24602816 -3.251953 71.392155
    Unten rechts KachelX + 1 8045 KachelY + 1 3475 -0.05637379 1.24602816 -3.229980 71.392155
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24615050-1.24602816) × R
    0.000122339999999888 × 6371000     		dl = 779.428139999284m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24615050-1.24602816) × R
    0.000122339999999888 × 6371000     		dr = 779.428139999284m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05675729--0.05637379) × cos(1.24615050) × R
    0.000383500000000002 × 0.318973133342092 × 6371000     		do = 779.340198772371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05675729--0.05637379) × cos(1.24602816) × R
    0.000383500000000002 × 0.319089080372859 × 6371000     		du = 779.623489659783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24615050)-sin(1.24602816))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318973133342092-0.319089080372859)×R²
    abs(-0.05637379--0.05675729)×0.000115947030767061×R²
    0.000383500000000002×0.000115947030767061×6371000²
    0.000383500000000002×0.000115947030767061×40589641000000     		ar = 607550.084757623m²