Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80421 / 82274
↖ ↑ ↗
← S 41.709829°
E 40.882873°		 ← 228.01 m → S 41.709829°
E 40.885620°		 →
↑
228.02 m
↓
↑
228.02 m
↓
S 41.711880°
E 40.882873°		 ← 228 m →
51 989 m²		 S 41.711880°
E 40.885620°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80421 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82274 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.613567352294922 y=0.627704620361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.613567352294922 × 217)
    floor (0.613567352294922 × 131072)
    floor (80421.5)     		tx = 80421
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627704620361328 × 217)
    floor (0.627704620361328 × 131072)
    floor (82274.5)     		ty = 82274
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80421 / 82274 ti = "17/80421/82274"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80421/82274.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80421 ÷ 217
    80421 ÷ 131072     		x = 0.613563537597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82274 ÷ 217
    82274 ÷ 131072     		y = 0.627700805664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.613563537597656 × 2 - 1) × π
    0.227127075195312 × 3.1415926535     		Λ = 0.71354075
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627700805664062 × 2 - 1) × π
    -0.255401611328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.8023678258405
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71354075} λ = 0.71354075}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.8023678258405))-π/2
    2×atan(0.448266289995222)-π/2
    2×0.421411236449407-π/2
    0.842822472898814-1.57079632675     		φ = -0.72797385
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71354075} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.882873°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72797385 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.709829°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80421 KachelY 82274 0.71354075 -0.72797385 40.882873 -41.709829
    Oben rechts KachelX + 1 80422 KachelY 82274 0.71358869 -0.72797385 40.885620 -41.709829
    Unten links KachelX 80421 KachelY + 1 82275 0.71354075 -0.72800964 40.882873 -41.711880
    Unten rechts KachelX + 1 80422 KachelY + 1 82275 0.71358869 -0.72800964 40.885620 -41.711880
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72797385--0.72800964) × R
    3.578999999998e-05 × 6371000     		dl = 228.018089999873m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72797385--0.72800964) × R
    3.578999999998e-05 × 6371000     		dr = 228.018089999873m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71354075-0.71358869) × cos(-0.72797385) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.746524049755652 × 6371000     		do = 228.007660324795m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71354075-0.71358869) × cos(-0.72800964) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.746500236099253 × 6371000     		du = 228.000387021168m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72797385)-sin(-0.72800964))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.746524049755652-0.746500236099253)×R²
    abs(0.71358869-0.71354075)×2.38136563992519e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.38136563992519e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.38136563992519e-05×40589641000000     		ar = 51989.0419958742m²