Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80419 / 82275
↖ ↑ ↗
← S 41.711880°
E 40.877381°		 ← 227.95 m → S 41.711880°
E 40.880127°		 →
↑
227.95 m
↓
↑
227.95 m
↓
S 41.713930°
E 40.877381°		 ← 227.95 m →
51 962 m²		 S 41.713930°
E 40.880127°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80419 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82275 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.613552093505859 y=0.627712249755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.613552093505859 × 217)
    floor (0.613552093505859 × 131072)
    floor (80419.5)     		tx = 80419
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627712249755859 × 217)
    floor (0.627712249755859 × 131072)
    floor (82275.5)     		ty = 82275
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80419 / 82275 ti = "17/80419/82275"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80419/82275.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80419 ÷ 217
    80419 ÷ 131072     		x = 0.613548278808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82275 ÷ 217
    82275 ÷ 131072     		y = 0.627708435058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.613548278808594 × 2 - 1) × π
    0.227096557617188 × 3.1415926535     		Λ = 0.71344488
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627708435058594 × 2 - 1) × π
    -0.255416870117188 × 3.1415926535     		Φ = -0.80241576274012
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71344488} λ = 0.71344488}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.80241576274012))-π/2
    2×atan(0.448244802014113)-π/2
    2×0.421393343710603-π/2
    0.842786687421205-1.57079632675     		φ = -0.72800964
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71344488} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.877381°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72800964 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.711880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80419 KachelY 82275 0.71344488 -0.72800964 40.877381 -41.711880
    Oben rechts KachelX + 1 80420 KachelY 82275 0.71349281 -0.72800964 40.880127 -41.711880
    Unten links KachelX 80419 KachelY + 1 82276 0.71344488 -0.72804542 40.877381 -41.713930
    Unten rechts KachelX + 1 80420 KachelY + 1 82276 0.71349281 -0.72804542 40.880127 -41.713930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72800964--0.72804542) × R
    3.57800000000408e-05 × 6371000     		dl = 227.95438000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72800964--0.72804542) × R
    3.57800000000408e-05 × 6371000     		dr = 227.95438000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71344488-0.71349281) × cos(-0.72800964) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.746500236099253 × 6371000     		do = 227.952827490887m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71344488-0.71349281) × cos(-0.72804542) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.746476428140762 × 6371000     		du = 227.945557444352m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72800964)-sin(-0.72804542))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.746500236099253-0.746476428140762)×R²
    abs(0.71349281-0.71344488)×2.38079584908846e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38079584908846e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38079584908846e-05×40589641000000     		ar = 51962.0168460581m²