Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8041 / 3491
↖ ↑ ↗
← N 71.279648°
W  3.317871°		 ← 784.15 m → N 71.279648°
W  3.295898°		 →
↑
784.33 m
↓
↑
784.33 m
↓
N 71.272594°
W  3.317871°		 ← 784.43 m →
615 146 m²		 N 71.272594°
W  3.295898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8041 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3491 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.490814208984375 y=0.213104248046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.490814208984375 × 214)
    floor (0.490814208984375 × 16384)
    floor (8041.5)     		tx = 8041
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.213104248046875 × 214)
    floor (0.213104248046875 × 16384)
    floor (3491.5)     		ty = 3491
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8041 / 3491 ti = "14/8041/3491"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8041/3491.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8041 ÷ 214
    8041 ÷ 16384     		x = 0.49078369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3491 ÷ 214
    3491 ÷ 16384     		y = 0.21307373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49078369140625 × 2 - 1) × π
    -0.0184326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.05790777
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21307373046875 × 2 - 1) × π
    0.5738525390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.80281092091107
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05790777} λ = -0.05790777}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.80281092091107))-π/2
    2×atan(6.06667646735294)-π/2
    2×1.40743043793315-π/2
    2.81486087586629-1.57079632675     		φ = 1.24406455
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05790777} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.317871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24406455 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.279648°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8041 KachelY 3491 -0.05790777 1.24406455 -3.317871 71.279648
    Oben rechts KachelX + 1 8042 KachelY 3491 -0.05752428 1.24406455 -3.295898 71.279648
    Unten links KachelX 8041 KachelY + 1 3492 -0.05790777 1.24394144 -3.317871 71.272594
    Unten rechts KachelX + 1 8042 KachelY + 1 3492 -0.05752428 1.24394144 -3.295898 71.272594
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24406455-1.24394144) × R
    0.000123110000000093 × 6371000     		dl = 784.333810000592m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24406455-1.24394144) × R
    0.000123110000000093 × 6371000     		dr = 784.333810000592m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05790777--0.05752428) × cos(1.24406455) × R
    0.00038349 × 0.320949425762847 × 6371000     		do = 784.148383865795m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05790777--0.05752428) × cos(1.24394144) × R
    0.00038349 × 0.32106602036008 × 6371000     		du = 784.433249510188m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24406455)-sin(1.24394144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.320949425762847-0.32106602036008)×R²
    abs(-0.05752428--0.05790777)×0.000116594597232733×R²
    0.00038349×0.000116594597232733×6371000²
    0.00038349×0.000116594597232733×40589641000000     		ar = 615145.805177798m²