Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 80405 / 82375
↖ ↑ ↗
← S 41.916585°
E 40.838928°		 ← 227.27 m → S 41.916585°
E 40.841675°		 →
↑
227.25 m
↓
↑
227.25 m
↓
S 41.918629°
E 40.838928°		 ← 227.27 m →
51 648 m²		 S 41.918629°
E 40.841675°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80405 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82375 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.613445281982422 y=0.628475189208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.613445281982422 × 217)
    floor (0.613445281982422 × 131072)
    floor (80405.5)     		tx = 80405
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628475189208984 × 217)
    floor (0.628475189208984 × 131072)
    floor (82375.5)     		ty = 82375
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80405 / 82375 ti = "17/80405/82375"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80405/82375.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80405 ÷ 217
    80405 ÷ 131072     		x = 0.613441467285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82375 ÷ 217
    82375 ÷ 131072     		y = 0.628471374511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.613441467285156 × 2 - 1) × π
    0.226882934570312 × 3.1415926535     		Λ = 0.71277376
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628471374511719 × 2 - 1) × π
    -0.256942749023438 × 3.1415926535     		Φ = -0.807209452702126
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71277376} λ = 0.71277376}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.807209452702126))-π/2
    2×atan(0.446101197399045)-π/2
    2×0.419606952670715-π/2
    0.83921390534143-1.57079632675     		φ = -0.73158242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71277376} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.838928°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73158242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.916585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80405 KachelY 82375 0.71277376 -0.73158242 40.838928 -41.916585
    Oben rechts KachelX + 1 80406 KachelY 82375 0.71282170 -0.73158242 40.841675 -41.916585
    Unten links KachelX 80405 KachelY + 1 82376 0.71277376 -0.73161809 40.838928 -41.918629
    Unten rechts KachelX + 1 80406 KachelY + 1 82376 0.71282170 -0.73161809 40.841675 -41.918629
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73158242--0.73161809) × R
    3.56700000000432e-05 × 6371000     		dl = 227.253570000275m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73158242--0.73161809) × R
    3.56700000000432e-05 × 6371000     		dr = 227.253570000275m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71277376-0.71282170) × cos(-0.73158242) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.74411820195953 × 6371000     		do = 227.27285248081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71277376-0.71282170) × cos(-0.73161809) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.744094372214755 × 6371000     		du = 227.265574263378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73158242)-sin(-0.73161809))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.74411820195953-0.744094372214755)×R²
    abs(0.71282170-0.71277376)×2.38297447753277e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38297447753277e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38297447753277e-05×40589641000000     		ar = 51647.7400955616m²