Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8040 / 3490
↖ ↑ ↗
← N 71.286699°
W  3.339844°		 ← 783.88 m → N 71.286699°
W  3.317871°		 →
↑
784.02 m
↓
↑
784.02 m
↓
N 71.279648°
W  3.339844°		 ← 784.17 m →
614 689 m²		 N 71.279648°
W  3.317871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3490 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.490753173828125 y=0.213043212890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.490753173828125 × 214)
    floor (0.490753173828125 × 16384)
    floor (8040.5)     		tx = 8040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.213043212890625 × 214)
    floor (0.213043212890625 × 16384)
    floor (3490.5)     		ty = 3490
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8040 / 3490 ti = "14/8040/3490"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8040/3490.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8040 ÷ 214
    8040 ÷ 16384     		x = 0.49072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3490 ÷ 214
    3490 ÷ 16384     		y = 0.2130126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49072265625 × 2 - 1) × π
    -0.0185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.05829127
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2130126953125 × 2 - 1) × π
    0.573974609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.80319441610803
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05829127} λ = -0.05829127}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.80319441610803))-π/2
    2×atan(6.06900345480542)-π/2
    2×1.40749196804003-π/2
    2.81498393608005-1.57079632675     		φ = 1.24418761
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05829127} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.339844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24418761 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.286699°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8040 KachelY 3490 -0.05829127 1.24418761 -3.339844 71.286699
    Oben rechts KachelX + 1 8041 KachelY 3490 -0.05790777 1.24418761 -3.317871 71.286699
    Unten links KachelX 8040 KachelY + 1 3491 -0.05829127 1.24406455 -3.339844 71.279648
    Unten rechts KachelX + 1 8041 KachelY + 1 3491 -0.05790777 1.24406455 -3.317871 71.279648
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24418761-1.24406455) × R
    0.000123059999999953 × 6371000     		dl = 784.015259999698m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24418761-1.24406455) × R
    0.000123059999999953 × 6371000     		dr = 784.015259999698m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05829127--0.05790777) × cos(1.24418761) × R
    0.000383500000000002 × 0.320832873658073 × 6371000     		do = 783.884062301991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05829127--0.05790777) × cos(1.24406455) × R
    0.000383500000000002 × 0.320949425762847 × 6371000     		du = 784.168831553714m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24418761)-sin(1.24406455))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.320832873658073-0.320949425762847)×R²
    abs(-0.05790777--0.05829127)×0.000116552104773626×R²
    0.000383500000000002×0.000116552104773626×6371000²
    0.000383500000000002×0.000116552104773626×40589641000000     		ar = 614688.699410884m²