Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80399 / 18935
↖ ↑ ↗
← N 77.772819°
E 40.822449°		 ← 64.69 m → N 77.772819°
E 40.825196°		 →
↑
64.73 m
↓
↑
64.73 m
↓
N 77.772237°
E 40.822449°		 ← 64.69 m →
4 187 m²		 N 77.772237°
E 40.825196°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80399 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18935 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.613399505615234 y=0.144466400146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.613399505615234 × 217)
    floor (0.613399505615234 × 131072)
    floor (80399.5)     		tx = 80399
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144466400146484 × 217)
    floor (0.144466400146484 × 131072)
    floor (18935.5)     		ty = 18935
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80399 / 18935 ti = "17/80399/18935"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80399/18935.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80399 ÷ 217
    80399 ÷ 131072     		x = 0.613395690917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18935 ÷ 217
    18935 ÷ 131072     		y = 0.144462585449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.613395690917969 × 2 - 1) × π
    0.226791381835938 × 3.1415926535     		Λ = 0.71248614
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144462585449219 × 2 - 1) × π
    0.711074829101562 × 3.1415926535     		Φ = 2.23390745919424
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71248614} λ = 0.71248614}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23390745919424))-π/2
    2×atan(9.33627601554446)-π/2
    2×1.46409404114086-π/2
    2.92818808228173-1.57079632675     		φ = 1.35739176
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71248614} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.822449°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35739176 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.772819°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80399 KachelY 18935 0.71248614 1.35739176 40.822449 77.772819
    Oben rechts KachelX + 1 80400 KachelY 18935 0.71253408 1.35739176 40.825196 77.772819
    Unten links KachelX 80399 KachelY + 1 18936 0.71248614 1.35738160 40.822449 77.772237
    Unten rechts KachelX + 1 80400 KachelY + 1 18936 0.71253408 1.35738160 40.825196 77.772237
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35739176-1.35738160) × R
    1.01599999999813e-05 × 6371000     		dl = 64.7293599998808m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35739176-1.35738160) × R
    1.01599999999813e-05 × 6371000     		dr = 64.7293599998808m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71248614-0.71253408) × cos(1.35739176) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.211788456854144 × 6371000     		do = 64.6856461580926m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71248614-0.71253408) × cos(1.35738160) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.21179838636902 × 6371000     		du = 64.6886788875215m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35739176)-sin(1.35738160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211788456854144-0.21179838636902)×R²
    abs(0.71253408-0.71248614)×9.92951487630012e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.92951487630012e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.92951487630012e-06×40589641000000     		ar = 4187.15863034392m²