Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80397 / 18934
↖ ↑ ↗
← N 77.773401°
E 40.816956°		 ← 64.67 m → N 77.773401°
E 40.819702°		 →
↑
64.67 m
↓
↑
64.67 m
↓
N 77.772819°
E 40.816956°		 ← 64.67 m →
4 182 m²		 N 77.772819°
E 40.819702°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80397 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18934 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.613384246826172 y=0.144458770751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.613384246826172 × 217)
    floor (0.613384246826172 × 131072)
    floor (80397.5)     		tx = 80397
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144458770751953 × 217)
    floor (0.144458770751953 × 131072)
    floor (18934.5)     		ty = 18934
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80397 / 18934 ti = "17/80397/18934"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80397/18934.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80397 ÷ 217
    80397 ÷ 131072     		x = 0.613380432128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18934 ÷ 217
    18934 ÷ 131072     		y = 0.144454956054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.613380432128906 × 2 - 1) × π
    0.226760864257812 × 3.1415926535     		Λ = 0.71239027
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144454956054688 × 2 - 1) × π
    0.711090087890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.23395539609386
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71239027} λ = 0.71239027}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23395539609386))-π/2
    2×atan(9.33672357839795)-π/2
    2×1.46409911726306-π/2
    2.92819823452612-1.57079632675     		φ = 1.35740191
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71239027} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.816956°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35740191 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.773401°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80397 KachelY 18934 0.71239027 1.35740191 40.816956 77.773401
    Oben rechts KachelX + 1 80398 KachelY 18934 0.71243820 1.35740191 40.819702 77.773401
    Unten links KachelX 80397 KachelY + 1 18935 0.71239027 1.35739176 40.816956 77.772819
    Unten rechts KachelX + 1 80398 KachelY + 1 18935 0.71243820 1.35739176 40.819702 77.772819
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35740191-1.35739176) × R
    1.01500000000421e-05 × 6371000     		dl = 64.665650000268m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35740191-1.35739176) × R
    1.01500000000421e-05 × 6371000     		dr = 64.665650000268m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71239027-0.71243820) × cos(1.35740191) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.211778537090582 × 6371000     		do = 64.6691239964501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71239027-0.71243820) × cos(1.35739176) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.211788456854144 × 6371000     		du = 64.6721531155884m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35740191)-sin(1.35739176))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211778537090582-0.211788456854144)×R²
    abs(0.71243820-0.71239027)×9.91976356151669e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.91976356151669e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.91976356151669e-06×40589641000000     		ar = 4181.96887805938m²