Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80393 / 82373
↖ ↑ ↗
← S 41.912498°
E 40.805969°		 ← 227.24 m → S 41.912498°
E 40.808716°		 →
↑
227.25 m
↓
↑
227.25 m
↓
S 41.914541°
E 40.805969°		 ← 227.23 m →
51 640 m²		 S 41.914541°
E 40.808716°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80393 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82373 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.613353729248047 y=0.628459930419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.613353729248047 × 217)
    floor (0.613353729248047 × 131072)
    floor (80393.5)     		tx = 80393
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628459930419922 × 217)
    floor (0.628459930419922 × 131072)
    floor (82373.5)     		ty = 82373
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80393 / 82373 ti = "17/80393/82373"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80393/82373.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80393 ÷ 217
    80393 ÷ 131072     		x = 0.613349914550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82373 ÷ 217
    82373 ÷ 131072     		y = 0.628456115722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.613349914550781 × 2 - 1) × π
    0.226699829101562 × 3.1415926535     		Λ = 0.71219852
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628456115722656 × 2 - 1) × π
    -0.256912231445312 × 3.1415926535     		Φ = -0.807113578902885
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71219852} λ = 0.71219852}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.807113578902885))-π/2
    2×atan(0.446143968865984)-π/2
    2×0.41964262453254-π/2
    0.839285249065079-1.57079632675     		φ = -0.73151108
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71219852} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.805969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73151108 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.912498°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80393 KachelY 82373 0.71219852 -0.73151108 40.805969 -41.912498
    Oben rechts KachelX + 1 80394 KachelY 82373 0.71224645 -0.73151108 40.808716 -41.912498
    Unten links KachelX 80393 KachelY + 1 82374 0.71219852 -0.73154675 40.805969 -41.914541
    Unten rechts KachelX + 1 80394 KachelY + 1 82374 0.71224645 -0.73154675 40.808716 -41.914541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73151108--0.73154675) × R
    3.56700000000432e-05 × 6371000     		dl = 227.253570000275m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73151108--0.73154675) × R
    3.56700000000432e-05 × 6371000     		dr = 227.253570000275m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71219852-0.71224645) × cos(-0.73151108) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.744165858608717 × 6371000     		do = 227.23999724159m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71219852-0.71224645) × cos(-0.73154675) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.744142030757528 × 6371000     		du = 227.23272112058m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73151108)-sin(-0.73154675))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.744165858608717-0.744142030757528)×R²
    abs(0.71224645-0.71219852)×2.382785118904e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.382785118904e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.382785118904e-05×40589641000000     		ar = 51640.2738630651m²