Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80354 / 82358
↖ ↑ ↗
← S 41.881831°
E 40.698853°		 ← 227.40 m → S 41.881831°
E 40.701599°		 →
↑
227.38 m
↓
↑
227.38 m
↓
S 41.883876°
E 40.698853°		 ← 227.39 m →
51 705 m²		 S 41.883876°
E 40.701599°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80354 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82358 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.613056182861328 y=0.628345489501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.613056182861328 × 217)
    floor (0.613056182861328 × 131072)
    floor (80354.5)     		tx = 80354
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628345489501953 × 217)
    floor (0.628345489501953 × 131072)
    floor (82358.5)     		ty = 82358
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80354 / 82358 ti = "17/80354/82358"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80354/82358.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80354 ÷ 217
    80354 ÷ 131072     		x = 0.613052368164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82358 ÷ 217
    82358 ÷ 131072     		y = 0.628341674804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.613052368164062 × 2 - 1) × π
    0.226104736328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.71032898
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628341674804688 × 2 - 1) × π
    -0.256683349609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.806394525408585
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71032898} λ = 0.71032898}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.806394525408585))-π/2
    2×atan(0.446464885610084)-π/2
    2×0.419910236315843-π/2
    0.839820472631685-1.57079632675     		φ = -0.73097585
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71032898} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.698853°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73097585 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.881831°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80354 KachelY 82358 0.71032898 -0.73097585 40.698853 -41.881831
    Oben rechts KachelX + 1 80355 KachelY 82358 0.71037692 -0.73097585 40.701599 -41.881831
    Unten links KachelX 80354 KachelY + 1 82359 0.71032898 -0.73101154 40.698853 -41.883876
    Unten rechts KachelX + 1 80355 KachelY + 1 82359 0.71037692 -0.73101154 40.701599 -41.883876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73097585--0.73101154) × R
    3.56900000000326e-05 × 6371000     		dl = 227.380990000208m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73097585--0.73101154) × R
    3.56900000000326e-05 × 6371000     		dr = 227.380990000208m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71032898-0.71037692) × cos(-0.73097585) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.744523282906325 × 6371000     		do = 227.396574628745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71032898-0.71037692) × cos(-0.73101154) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.744499455913217 × 6371000     		du = 227.389297251742m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73097585)-sin(-0.73101154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.744523282906325-0.744499455913217)×R²
    abs(0.71037692-0.71032898)×2.38269931082113e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38269931082113e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38269931082113e-05×40589641000000     		ar = 51704.8308987258m²