Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80339 / 82354
↖ ↑ ↗
← S 41.873651°
E 40.657654°		 ← 227.38 m → S 41.873651°
E 40.660400°		 →
↑
227.44 m
↓
↑
227.44 m
↓
S 41.875696°
E 40.657654°		 ← 227.37 m →
51 715 m²		 S 41.875696°
E 40.660400°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80339 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82354 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.612941741943359 y=0.628314971923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.612941741943359 × 217)
    floor (0.612941741943359 × 131072)
    floor (80339.5)     		tx = 80339
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628314971923828 × 217)
    floor (0.628314971923828 × 131072)
    floor (82354.5)     		ty = 82354
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80339 / 82354 ti = "17/80339/82354"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80339/82354.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80339 ÷ 217
    80339 ÷ 131072     		x = 0.612937927246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82354 ÷ 217
    82354 ÷ 131072     		y = 0.628311157226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.612937927246094 × 2 - 1) × π
    0.225875854492188 × 3.1415926535     		Λ = 0.70960993
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628311157226562 × 2 - 1) × π
    -0.256622314453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.806202777810104
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70960993} λ = 0.70960993}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.806202777810104))-π/2
    2×atan(0.446550502387849)-π/2
    2×0.419981621159979-π/2
    0.839963242319958-1.57079632675     		φ = -0.73083308
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70960993} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.657654°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73083308 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.873651°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80339 KachelY 82354 0.70960993 -0.73083308 40.657654 -41.873651
    Oben rechts KachelX + 1 80340 KachelY 82354 0.70965786 -0.73083308 40.660400 -41.873651
    Unten links KachelX 80339 KachelY + 1 82355 0.70960993 -0.73086878 40.657654 -41.875696
    Unten rechts KachelX + 1 80340 KachelY + 1 82355 0.70965786 -0.73086878 40.660400 -41.875696
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73083308--0.73086878) × R
    3.56999999999719e-05 × 6371000     		dl = 227.444699999821m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73083308--0.73086878) × R
    3.56999999999719e-05 × 6371000     		dr = 227.444699999821m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70960993-0.70965786) × cos(-0.73083308) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.744618588069797 × 6371000     		do = 227.378243628339m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70960993-0.70965786) × cos(-0.73086878) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.744594758195392 × 6371000     		du = 227.370966889517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73083308)-sin(-0.73086878))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.744618588069797-0.744594758195392)×R²
    abs(0.70965786-0.70960993)×2.38298744041909e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.38298744041909e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.38298744041909e-05×40589641000000     		ar = 51715.1488861462m²