Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80335 / 82407
↖ ↑ ↗
← S 41.981953°
E 40.646668°		 ← 226.99 m → S 41.981953°
E 40.649414°		 →
↑
227 m
↓
↑
227 m
↓
S 41.983994°
E 40.646668°		 ← 226.99 m →
51 526 m²		 S 41.983994°
E 40.649414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80335 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82407 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.612911224365234 y=0.628719329833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.612911224365234 × 217)
    floor (0.612911224365234 × 131072)
    floor (80335.5)     		tx = 80335
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628719329833984 × 217)
    floor (0.628719329833984 × 131072)
    floor (82407.5)     		ty = 82407
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80335 / 82407 ti = "17/80335/82407"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80335/82407.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80335 ÷ 217
    80335 ÷ 131072     		x = 0.612907409667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82407 ÷ 217
    82407 ÷ 131072     		y = 0.628715515136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.612907409667969 × 2 - 1) × π
    0.225814819335938 × 3.1415926535     		Λ = 0.70941818
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628715515136719 × 2 - 1) × π
    -0.257431030273438 × 3.1415926535     		Φ = -0.808743433489967
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70941818} λ = 0.70941818}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.808743433489967))-π/2
    2×atan(0.445417411324237)-π/2
    2×0.419036513617582-π/2
    0.838073027235164-1.57079632675     		φ = -0.73272330
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70941818} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.646668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73272330 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.981953°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80335 KachelY 82407 0.70941818 -0.73272330 40.646668 -41.981953
    Oben rechts KachelX + 1 80336 KachelY 82407 0.70946611 -0.73272330 40.649414 -41.981953
    Unten links KachelX 80335 KachelY + 1 82408 0.70941818 -0.73275893 40.646668 -41.983994
    Unten rechts KachelX + 1 80336 KachelY + 1 82408 0.70946611 -0.73275893 40.649414 -41.983994
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73272330--0.73275893) × R
    3.56300000000642e-05 × 6371000     		dl = 226.998730000409m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73272330--0.73275893) × R
    3.56300000000642e-05 × 6371000     		dr = 226.998730000409m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70941818-0.70946611) × cos(-0.73272330) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.743355555272472 × 6371000     		do = 226.992561369918m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70941818-0.70946611) × cos(-0.73275893) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.743331722018585 × 6371000     		du = 226.98528359913m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73272330)-sin(-0.73275893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.743355555272472-0.743331722018585)×R²
    abs(0.70946611-0.70941818)×2.38332538869956e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38332538869956e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38332538869956e-05×40589641000000     		ar = 51526.1971335174m²