Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80332 / 82388
↖ ↑ ↗
← S 41.943149°
E 40.638428°		 ← 227.13 m → S 41.943149°
E 40.641174°		 →
↑
227.19 m
↓
↑
227.19 m
↓
S 41.945192°
E 40.638428°		 ← 227.12 m →
51 601 m²		 S 41.945192°
E 40.641174°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82388 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.612888336181641 y=0.628574371337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.612888336181641 × 217)
    floor (0.612888336181641 × 131072)
    floor (80332.5)     		tx = 80332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628574371337891 × 217)
    floor (0.628574371337891 × 131072)
    floor (82388.5)     		ty = 82388
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80332 / 82388 ti = "17/80332/82388"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80332/82388.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80332 ÷ 217
    80332 ÷ 131072     		x = 0.612884521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82388 ÷ 217
    82388 ÷ 131072     		y = 0.628570556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.612884521484375 × 2 - 1) × π
    0.22576904296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.70927437
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628570556640625 × 2 - 1) × π
    -0.25714111328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.807832632397186
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70927437} λ = 0.70927437}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.807832632397186))-π/2
    2×atan(0.445823282795247)-π/2
    2×0.41937514125874-π/2
    0.83875028251748-1.57079632675     		φ = -0.73204604
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70927437} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.638428°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73204604 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.943149°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80332 KachelY 82388 0.70927437 -0.73204604 40.638428 -41.943149
    Oben rechts KachelX + 1 80333 KachelY 82388 0.70932230 -0.73204604 40.641174 -41.943149
    Unten links KachelX 80332 KachelY + 1 82389 0.70927437 -0.73208170 40.638428 -41.945192
    Unten rechts KachelX + 1 80333 KachelY + 1 82389 0.70932230 -0.73208170 40.641174 -41.945192
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73204604--0.73208170) × R
    3.56599999999929e-05 × 6371000     		dl = 227.189859999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73204604--0.73208170) × R
    3.56599999999929e-05 × 6371000     		dr = 227.189859999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70927437-0.70932230) × cos(-0.73204604) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.743808401595171 × 6371000     		do = 227.13084344177m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70927437-0.70932230) × cos(-0.73208170) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.743784566231623 × 6371000     		du = 227.123565026771m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73204604)-sin(-0.73208170))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.743808401595171-0.743784566231623)×R²
    abs(0.70932230-0.70927437)×2.3835363547442e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.3835363547442e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.3835363547442e-05×40589641000000     		ar = 51600.9977375933m²