Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80324 / 82387
↖ ↑ ↗
← S 41.941106°
E 40.616455°		 ← 227.19 m → S 41.941106°
E 40.619202°		 →
↑
227.13 m
↓
↑
227.13 m
↓
S 41.943149°
E 40.616455°		 ← 227.18 m →
51 599 m²		 S 41.943149°
E 40.619202°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82387 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.612827301025391 y=0.628566741943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.612827301025391 × 217)
    floor (0.612827301025391 × 131072)
    floor (80324.5)     		tx = 80324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628566741943359 × 217)
    floor (0.628566741943359 × 131072)
    floor (82387.5)     		ty = 82387
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80324 / 82387 ti = "17/80324/82387"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80324/82387.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80324 ÷ 217
    80324 ÷ 131072     		x = 0.612823486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82387 ÷ 217
    82387 ÷ 131072     		y = 0.628562927246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.612823486328125 × 2 - 1) × π
    0.22564697265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.70889087
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628562927246094 × 2 - 1) × π
    -0.257125854492188 × 3.1415926535     		Φ = -0.807784695497566
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70889087} λ = 0.70889087}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.807784695497566))-π/2
    2×atan(0.44584465469345)-π/2
    2×0.419392969478622-π/2
    0.838785938957245-1.57079632675     		φ = -0.73201039
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70889087} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.616455°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73201039 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.941106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80324 KachelY 82387 0.70889087 -0.73201039 40.616455 -41.941106
    Oben rechts KachelX + 1 80325 KachelY 82387 0.70893881 -0.73201039 40.619202 -41.941106
    Unten links KachelX 80324 KachelY + 1 82388 0.70889087 -0.73204604 40.616455 -41.943149
    Unten rechts KachelX + 1 80325 KachelY + 1 82388 0.70893881 -0.73204604 40.619202 -41.943149
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73201039--0.73204604) × R
    3.56499999999427e-05 × 6371000     		dl = 227.126149999635m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73201039--0.73204604) × R
    3.56499999999427e-05 × 6371000     		dr = 227.126149999635m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70889087-0.70893881) × cos(-0.73201039) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.743832229329201 × 6371000     		do = 227.185509079098m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70889087-0.70893881) × cos(-0.73204604) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.743808401595171 × 6371000     		du = 227.178231475799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73201039)-sin(-0.73204604))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.743832229329201-0.743808401595171)×R²
    abs(0.70893881-0.70889087)×2.38277340303128e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.38277340303128e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.38277340303128e-05×40589641000000     		ar = 51598.9435512228m²