Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 80324 / 82386
↖ ↑ ↗
← S 41.939063°
E 40.616455°		 ← 227.19 m → S 41.939063°
E 40.619202°		 →
↑
227.19 m
↓
↑
227.19 m
↓
S 41.941106°
E 40.616455°		 ← 227.19 m →
51 615 m²		 S 41.941106°
E 40.619202°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82386 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.612827301025391 y=0.628559112548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.612827301025391 × 217)
    floor (0.612827301025391 × 131072)
    floor (80324.5)     		tx = 80324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628559112548828 × 217)
    floor (0.628559112548828 × 131072)
    floor (82386.5)     		ty = 82386
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80324 / 82386 ti = "17/80324/82386"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80324/82386.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80324 ÷ 217
    80324 ÷ 131072     		x = 0.612823486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82386 ÷ 217
    82386 ÷ 131072     		y = 0.628555297851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.612823486328125 × 2 - 1) × π
    0.22564697265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.70889087
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628555297851562 × 2 - 1) × π
    -0.257110595703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.807736758597946
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70889087} λ = 0.70889087}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.807736758597946))-π/2
    2×atan(0.445866027616179)-π/2
    2×0.419410798269719-π/2
    0.838821596539439-1.57079632675     		φ = -0.73197473
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70889087} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.616455°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73197473 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.939063°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80324 KachelY 82386 0.70889087 -0.73197473 40.616455 -41.939063
    Oben rechts KachelX + 1 80325 KachelY 82386 0.70893881 -0.73197473 40.619202 -41.939063
    Unten links KachelX 80324 KachelY + 1 82387 0.70889087 -0.73201039 40.616455 -41.941106
    Unten rechts KachelX + 1 80325 KachelY + 1 82387 0.70893881 -0.73201039 40.619202 -41.941106
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73197473--0.73201039) × R
    3.56599999999929e-05 × 6371000     		dl = 227.189859999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73197473--0.73201039) × R
    3.56599999999929e-05 × 6371000     		dr = 227.189859999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70889087-0.70893881) × cos(-0.73197473) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.743856062801277 × 6371000     		do = 227.192788434944m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70889087-0.70893881) × cos(-0.73201039) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.743832229329201 × 6371000     		du = 227.185509079098m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73197473)-sin(-0.73201039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.743856062801277-0.743832229329201)×R²
    abs(0.70893881-0.70889087)×2.3833472075907e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.3833472075907e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.3833472075907e-05×40589641000000     		ar = 51615.0709050246m²