Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80322 / 82385
↖ ↑ ↗
← S 41.937020°
E 40.610962°		 ← 227.15 m → S 41.937020°
E 40.613708°		 →
↑
227.19 m
↓
↑
227.19 m
↓
S 41.939063°
E 40.610962°		 ← 227.15 m →
51 606 m²		 S 41.939063°
E 40.613708°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80322 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82385 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.612812042236328 y=0.628551483154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.612812042236328 × 217)
    floor (0.612812042236328 × 131072)
    floor (80322.5)     		tx = 80322
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628551483154297 × 217)
    floor (0.628551483154297 × 131072)
    floor (82385.5)     		ty = 82385
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80322 / 82385 ti = "17/80322/82385"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80322/82385.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80322 ÷ 217
    80322 ÷ 131072     		x = 0.612808227539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82385 ÷ 217
    82385 ÷ 131072     		y = 0.628547668457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.612808227539062 × 2 - 1) × π
    0.225616455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.70879500
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628547668457031 × 2 - 1) × π
    -0.257095336914062 × 3.1415926535     		Φ = -0.807688821698326
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70879500} λ = 0.70879500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.807688821698326))-π/2
    2×atan(0.445887401563486)-π/2
    2×0.419428627632027-π/2
    0.838857255264054-1.57079632675     		φ = -0.73193907
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70879500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.610962°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73193907 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.937020°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80322 KachelY 82385 0.70879500 -0.73193907 40.610962 -41.937020
    Oben rechts KachelX + 1 80323 KachelY 82385 0.70884293 -0.73193907 40.613708 -41.937020
    Unten links KachelX 80322 KachelY + 1 82386 0.70879500 -0.73197473 40.610962 -41.939063
    Unten rechts KachelX + 1 80323 KachelY + 1 82386 0.70884293 -0.73197473 40.613708 -41.939063
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73193907--0.73197473) × R
    3.56599999999929e-05 × 6371000     		dl = 227.189859999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73193907--0.73197473) × R
    3.56599999999929e-05 × 6371000     		dr = 227.189859999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70879500-0.70884293) × cos(-0.73193907) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.743879895327439 × 6371000     		do = 227.152674913513m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70879500-0.70884293) × cos(-0.73197473) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.743856062801277 × 6371000     		du = 227.145397364944m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73193907)-sin(-0.73197473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.743879895327439-0.743856062801277)×R²
    abs(0.70884293-0.70879500)×2.38325261620043e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38325261620043e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38325261620043e-05×40589641000000     		ar = 51605.9577251599m²