Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8032 / 11875
↖ ↑ ↗
← S 62.623668°
W  3.515625°		 ← 1 123.47 m → S 62.623668°
W  3.493653°		 →
↑
1 123.27 m
↓
↑
1 123.27 m
↓
S 62.633769°
W  3.515625°		 ← 1 123.09 m →
1 261 747 m²		 S 62.633769°
W  3.493653°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11875 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.490264892578125 y=0.724822998046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.490264892578125 × 214)
    floor (0.490264892578125 × 16384)
    floor (8032.5)     		tx = 8032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724822998046875 × 214)
    floor (0.724822998046875 × 16384)
    floor (11875.5)     		ty = 11875
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8032 / 11875 ti = "14/8032/11875"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8032/11875.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8032 ÷ 214
    8032 ÷ 16384     		x = 0.490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11875 ÷ 214
    11875 ÷ 16384     		y = 0.72479248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.490234375 × 2 - 1) × π
    -0.01953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.06135923
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72479248046875 × 2 - 1) × π
    -0.4495849609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.41241281040533
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.06135923} λ = -0.06135923}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41241281040533))-π/2
    2×atan(0.243554921787102)-π/2
    2×0.238903568973508-π/2
    0.477807137947015-1.57079632675     		φ = -1.09298919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.06135923} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.515625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09298919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.623668°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8032 KachelY 11875 -0.06135923 -1.09298919 -3.515625 -62.623668
    Oben rechts KachelX + 1 8033 KachelY 11875 -0.06097574 -1.09298919 -3.493653 -62.623668
    Unten links KachelX 8032 KachelY + 1 11876 -0.06135923 -1.09316550 -3.515625 -62.633769
    Unten rechts KachelX + 1 8033 KachelY + 1 11876 -0.06097574 -1.09316550 -3.493653 -62.633769
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09298919--1.09316550) × R
    0.000176310000000068 × 6371000     		dl = 1123.27101000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09298919--1.09316550) × R
    0.000176310000000068 × 6371000     		dr = 1123.27101000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.06135923--0.06097574) × cos(-1.09298919) × R
    0.00038349 × 0.459833008304508 × 6371000     		do = 1123.47080681977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.06135923--0.06097574) × cos(-1.09316550) × R
    0.00038349 × 0.459676436924847 × 6371000     		du = 1123.08826930929m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09298919)-sin(-1.09316550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459833008304508-0.459676436924847)×R²
    abs(-0.06097574--0.06135923)×0.000156571379661352×R²
    0.00038349×0.000156571379661352×6371000²
    0.00038349×0.000156571379661352×40589641000000     		ar = 1261747.34450274m²