Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80309 / 82380
↖ ↑ ↗
← S 41.926803°
E 40.575256°		 ← 227.19 m → S 41.926803°
E 40.578003°		 →
↑
227.25 m
↓
↑
227.25 m
↓
S 41.928847°
E 40.575256°		 ← 227.18 m →
51 629 m²		 S 41.928847°
E 40.578003°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80309 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82380 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.612712860107422 y=0.628513336181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.612712860107422 × 217)
    floor (0.612712860107422 × 131072)
    floor (80309.5)     		tx = 80309
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628513336181641 × 217)
    floor (0.628513336181641 × 131072)
    floor (82380.5)     		ty = 82380
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80309 / 82380 ti = "17/80309/82380"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80309/82380.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80309 ÷ 217
    80309 ÷ 131072     		x = 0.612709045410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82380 ÷ 217
    82380 ÷ 131072     		y = 0.628509521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.612709045410156 × 2 - 1) × π
    0.225418090820312 × 3.1415926535     		Λ = 0.70817182
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628509521484375 × 2 - 1) × π
    -0.25701904296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.807449137200226
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70817182} λ = 0.70817182}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.807449137200226))-π/2
    2×atan(0.445994286670378)-π/2
    2×0.419517783011569-π/2
    0.839035566023137-1.57079632675     		φ = -0.73176076
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70817182} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.575256°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73176076 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.926803°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80309 KachelY 82380 0.70817182 -0.73176076 40.575256 -41.926803
    Oben rechts KachelX + 1 80310 KachelY 82380 0.70821975 -0.73176076 40.578003 -41.926803
    Unten links KachelX 80309 KachelY + 1 82381 0.70817182 -0.73179643 40.575256 -41.928847
    Unten rechts KachelX + 1 80310 KachelY + 1 82381 0.70821975 -0.73179643 40.578003 -41.928847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73176076--0.73179643) × R
    3.56700000000432e-05 × 6371000     		dl = 227.253570000275m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73176076--0.73179643) × R
    3.56700000000432e-05 × 6371000     		dr = 227.253570000275m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70817182-0.70821975) × cos(-0.73176076) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.743999050450287 × 6371000     		do = 227.189060363711m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70817182-0.70821975) × cos(-0.73179643) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.743975215972342 × 6371000     		du = 227.181782219142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73176076)-sin(-0.73179643))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.743999050450287-0.743975215972342)×R²
    abs(0.70821975-0.70817182)×2.38344779449617e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38344779449617e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38344779449617e-05×40589641000000     		ar = 51628.6980461266m²