Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 80305 / 82382
↖ ↑ ↗
← S 41.930890°
E 40.564270°		 ← 227.22 m → S 41.930890°
E 40.567017°		 →
↑
227.19 m
↓
↑
227.19 m
↓
S 41.932933°
E 40.564270°		 ← 227.21 m →
51 622 m²		 S 41.932933°
E 40.567017°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80305 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82382 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.612682342529297 y=0.628528594970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.612682342529297 × 217)
    floor (0.612682342529297 × 131072)
    floor (80305.5)     		tx = 80305
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628528594970703 × 217)
    floor (0.628528594970703 × 131072)
    floor (82382.5)     		ty = 82382
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80305 / 82382 ti = "17/80305/82382"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80305/82382.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80305 ÷ 217
    80305 ÷ 131072     		x = 0.612678527832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82382 ÷ 217
    82382 ÷ 131072     		y = 0.628524780273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.612678527832031 × 2 - 1) × π
    0.225357055664062 × 3.1415926535     		Λ = 0.70798007
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628524780273438 × 2 - 1) × π
    -0.257049560546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.807545010999466
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70798007} λ = 0.70798007}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.807545010999466))-π/2
    2×atan(0.445951529553352)-π/2
    2×0.419482119146169-π/2
    0.838964238292337-1.57079632675     		φ = -0.73183209
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70798007} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.564270°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73183209 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.930890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80305 KachelY 82382 0.70798007 -0.73183209 40.564270 -41.930890
    Oben rechts KachelX + 1 80306 KachelY 82382 0.70802801 -0.73183209 40.567017 -41.930890
    Unten links KachelX 80305 KachelY + 1 82383 0.70798007 -0.73186775 40.564270 -41.932933
    Unten rechts KachelX + 1 80306 KachelY + 1 82383 0.70802801 -0.73186775 40.567017 -41.932933
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73183209--0.73186775) × R
    3.56599999999929e-05 × 6371000     		dl = 227.189859999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73183209--0.73186775) × R
    3.56599999999929e-05 × 6371000     		dr = 227.189859999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70798007-0.70802801) × cos(-0.73183209) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.743951387230139 × 6371000     		do = 227.221902969169m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70798007-0.70802801) × cos(-0.73186775) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.7439275575419 × 6371000     		du = 227.214624769005m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73183209)-sin(-0.73186775))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.743951387230139-0.7439275575419)×R²
    abs(0.70802801-0.70798007)×2.38296882386635e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.38296882386635e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.38296882386635e-05×40589641000000     		ar = 51621.6855632412m²