Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 80300 / 82362
↖ ↑ ↗
← S 41.890011°
E 40.550537°		 ← 227.32 m → S 41.890011°
E 40.553284°		 →
↑
227.32 m
↓
↑
227.32 m
↓
S 41.892055°
E 40.550537°		 ← 227.31 m →
51 673 m²		 S 41.892055°
E 40.553284°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80300 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82362 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.612644195556641 y=0.628376007080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.612644195556641 × 217)
    floor (0.612644195556641 × 131072)
    floor (80300.5)     		tx = 80300
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628376007080078 × 217)
    floor (0.628376007080078 × 131072)
    floor (82362.5)     		ty = 82362
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80300 / 82362 ti = "17/80300/82362"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80300/82362.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80300 ÷ 217
    80300 ÷ 131072     		x = 0.612640380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82362 ÷ 217
    82362 ÷ 131072     		y = 0.628372192382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.612640380859375 × 2 - 1) × π
    0.22528076171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.70774039
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628372192382812 × 2 - 1) × π
    -0.256744384765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.806586273007065
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70774039} λ = 0.70774039}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.806586273007065))-π/2
    2×atan(0.446379285247557)-π/2
    2×0.419838860609097-π/2
    0.839677721218194-1.57079632675     		φ = -0.73111861
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70774039} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.550537°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73111861 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.890011°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80300 KachelY 82362 0.70774039 -0.73111861 40.550537 -41.890011
    Oben rechts KachelX + 1 80301 KachelY 82362 0.70778832 -0.73111861 40.553284 -41.890011
    Unten links KachelX 80300 KachelY + 1 82363 0.70774039 -0.73115429 40.550537 -41.892055
    Unten rechts KachelX + 1 80301 KachelY + 1 82363 0.70778832 -0.73115429 40.553284 -41.892055
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73111861--0.73115429) × R
    3.56799999999824e-05 × 6371000     		dl = 227.317279999888m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73111861--0.73115429) × R
    3.56799999999824e-05 × 6371000     		dr = 227.317279999888m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70774039-0.70778832) × cos(-0.73111861) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.74442796924406 × 6371000     		do = 227.320035877283m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70774039-0.70778832) × cos(-0.73115429) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.744404145135125 × 6371000     		du = 227.312760899016m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73111861)-sin(-0.73115429))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.74442796924406-0.744404145135125)×R²
    abs(0.70778832-0.70774039)×2.38241089350888e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38241089350888e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38241089350888e-05×40589641000000     		ar = 51672.9453864981m²