Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 80289 / 82273
↖ ↑ ↗
← S 41.707779°
E 40.520325°		 ← 228.01 m → S 41.707779°
E 40.523071°		 →
↑
227.95 m
↓
↑
227.95 m
↓
S 41.709829°
E 40.520325°		 ← 228.01 m →
51 976 m²		 S 41.709829°
E 40.523071°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80289 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82273 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.612560272216797 y=0.627696990966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.612560272216797 × 217)
    floor (0.612560272216797 × 131072)
    floor (80289.5)     		tx = 80289
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627696990966797 × 217)
    floor (0.627696990966797 × 131072)
    floor (82273.5)     		ty = 82273
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80289 / 82273 ti = "17/80289/82273"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80289/82273.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80289 ÷ 217
    80289 ÷ 131072     		x = 0.612556457519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82273 ÷ 217
    82273 ÷ 131072     		y = 0.627693176269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.612556457519531 × 2 - 1) × π
    0.225112915039062 × 3.1415926535     		Λ = 0.70721308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627693176269531 × 2 - 1) × π
    -0.255386352539062 × 3.1415926535     		Φ = -0.80231988894088
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70721308} λ = 0.70721308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.80231988894088))-π/2
    2×atan(0.448287779006423)-π/2
    2×0.421429129758914-π/2
    0.842858259517828-1.57079632675     		φ = -0.72793807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70721308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.520325°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72793807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.707779°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80289 KachelY 82273 0.70721308 -0.72793807 40.520325 -41.707779
    Oben rechts KachelX + 1 80290 KachelY 82273 0.70726102 -0.72793807 40.523071 -41.707779
    Unten links KachelX 80289 KachelY + 1 82274 0.70721308 -0.72797385 40.520325 -41.709829
    Unten rechts KachelX + 1 80290 KachelY + 1 82274 0.70726102 -0.72797385 40.523071 -41.709829
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72793807--0.72797385) × R
    3.57800000000408e-05 × 6371000     		dl = 227.95438000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72793807--0.72797385) × R
    3.57800000000408e-05 × 6371000     		dr = 227.95438000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70721308-0.70726102) × cos(-0.72793807) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.746547855802494 × 6371000     		do = 228.01493130374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70721308-0.70726102) × cos(-0.72797385) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.746524049755652 × 6371000     		du = 228.007660324267m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72793807)-sin(-0.72797385))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.746547855802494-0.746524049755652)×R²
    abs(0.70726102-0.70721308)×2.38060468414902e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38060468414902e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38060468414902e-05×40589641000000     		ar = 51976.1735758358m²