Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8027 / 3440
↖ ↑ ↗
← N 71.635993°
W  3.625488°		 ← 769.76 m → N 71.635993°
W  3.603515°		 →
↑
769.87 m
↓
↑
769.87 m
↓
N 71.629069°
W  3.625488°		 ← 770.04 m →
592 726 m²		 N 71.629069°
W  3.603515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8027 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3440 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.489959716796875 y=0.209991455078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.489959716796875 × 214)
    floor (0.489959716796875 × 16384)
    floor (8027.5)     		tx = 8027
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.209991455078125 × 214)
    floor (0.209991455078125 × 16384)
    floor (3440.5)     		ty = 3440
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8027 / 3440 ti = "14/8027/3440"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8027/3440.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8027 ÷ 214
    8027 ÷ 16384     		x = 0.48992919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3440 ÷ 214
    3440 ÷ 16384     		y = 0.2099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48992919921875 × 2 - 1) × π
    -0.0201416015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.06327671
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2099609375 × 2 - 1) × π
    0.580078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.82236917595605
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.06327671} λ = -0.06327671}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82236917595605))-π/2
    2×atan(6.18649800351879)-π/2
    2×1.4105401327637-π/2
    2.8210802655274-1.57079632675     		φ = 1.25028394
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.06327671} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.625488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25028394 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.635993°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8027 KachelY 3440 -0.06327671 1.25028394 -3.625488 71.635993
    Oben rechts KachelX + 1 8028 KachelY 3440 -0.06289321 1.25028394 -3.603515 71.635993
    Unten links KachelX 8027 KachelY + 1 3441 -0.06327671 1.25016310 -3.625488 71.629069
    Unten rechts KachelX + 1 8028 KachelY + 1 3441 -0.06289321 1.25016310 -3.603515 71.629069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25028394-1.25016310) × R
    0.000120840000000122 × 6371000     		dl = 769.871640000777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25028394-1.25016310) × R
    0.000120840000000122 × 6371000     		dr = 769.871640000777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.06327671--0.06289321) × cos(1.25028394) × R
    0.000383499999999995 × 0.315052894995122 × 6371000     		do = 769.761964704329m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.06327671--0.06289321) × cos(1.25016310) × R
    0.000383499999999995 × 0.315167578810497 × 6371000     		du = 770.042169204732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25028394)-sin(1.25016310))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.315052894995122-0.315167578810497)×R²
    abs(-0.06289321--0.06327671)×0.000114683815374994×R²
    0.000383499999999995×0.000114683815374994×6371000²
    0.000383499999999995×0.000114683815374994×40589641000000     		ar = 592725.767647188m²