Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 80264 / 82506
↖ ↑ ↗
← S 42.183759°
E 40.451660°		 ← 226.27 m → S 42.183759°
E 40.454406°		 →
↑
226.30 m
↓
↑
226.30 m
↓
S 42.185794°
E 40.451660°		 ← 226.26 m →
51 204 m²		 S 42.185794°
E 40.454406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80264 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82506 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.612369537353516 y=0.629474639892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.612369537353516 × 217)
    floor (0.612369537353516 × 131072)
    floor (80264.5)     		tx = 80264
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629474639892578 × 217)
    floor (0.629474639892578 × 131072)
    floor (82506.5)     		ty = 82506
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80264 / 82506 ti = "17/80264/82506"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80264/82506.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80264 ÷ 217
    80264 ÷ 131072     		x = 0.61236572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82506 ÷ 217
    82506 ÷ 131072     		y = 0.629470825195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61236572265625 × 2 - 1) × π
    0.2247314453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.70601466
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629470825195312 × 2 - 1) × π
    -0.258941650390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.813489186552353
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70601466} λ = 0.70601466}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.813489186552353))-π/2
    2×atan(0.443308578238899)-π/2
    2×0.417275423012764-π/2
    0.834550846025528-1.57079632675     		φ = -0.73624548
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70601466} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.451660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73624548 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.183759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80264 KachelY 82506 0.70601466 -0.73624548 40.451660 -42.183759
    Oben rechts KachelX + 1 80265 KachelY 82506 0.70606259 -0.73624548 40.454406 -42.183759
    Unten links KachelX 80264 KachelY + 1 82507 0.70601466 -0.73628100 40.451660 -42.185794
    Unten rechts KachelX + 1 80265 KachelY + 1 82507 0.70606259 -0.73628100 40.454406 -42.185794
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73624548--0.73628100) × R
    3.55199999999556e-05 × 6371000     		dl = 226.297919999717m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73624548--0.73628100) × R
    3.55199999999556e-05 × 6371000     		dr = 226.297919999717m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70601466-0.70606259) × cos(-0.73624548) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.740994975356219 × 6371000     		do = 226.271729894713m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70601466-0.70606259) × cos(-0.73628100) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.740971122833309 × 6371000     		du = 226.264446239897m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73624548)-sin(-0.73628100))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.740994975356219-0.740971122833309)×R²
    abs(0.70606259-0.70601466)×2.38525229101505e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38525229101505e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38525229101505e-05×40589641000000     		ar = 51203.9976972965m²