Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80256 / 82508
↖ ↑ ↗
← S 42.187829°
E 40.429687°		 ← 226.30 m → S 42.187829°
E 40.432434°		 →
↑
226.30 m
↓
↑
226.30 m
↓
S 42.189864°
E 40.429687°		 ← 226.30 m →
51 211 m²		 S 42.189864°
E 40.432434°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82508 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.612308502197266 y=0.629489898681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.612308502197266 × 217)
    floor (0.612308502197266 × 131072)
    floor (80256.5)     		tx = 80256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629489898681641 × 217)
    floor (0.629489898681641 × 131072)
    floor (82508.5)     		ty = 82508
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80256 / 82508 ti = "17/80256/82508"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80256/82508.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80256 ÷ 217
    80256 ÷ 131072     		x = 0.6123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82508 ÷ 217
    82508 ÷ 131072     		y = 0.629486083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6123046875 × 2 - 1) × π
    0.224609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.70563116
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629486083984375 × 2 - 1) × π
    -0.25897216796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.813585060351593
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70563116} λ = 0.70563116}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.813585060351593))-π/2
    2×atan(0.443266078598601)-π/2
    2×0.417239903154467-π/2
    0.834479806308935-1.57079632675     		φ = -0.73631652
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70563116} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.429687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73631652 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.187829°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80256 KachelY 82508 0.70563116 -0.73631652 40.429687 -42.187829
    Oben rechts KachelX + 1 80257 KachelY 82508 0.70567910 -0.73631652 40.432434 -42.187829
    Unten links KachelX 80256 KachelY + 1 82509 0.70563116 -0.73635204 40.429687 -42.189864
    Unten rechts KachelX + 1 80257 KachelY + 1 82509 0.70567910 -0.73635204 40.432434 -42.189864
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73631652--0.73635204) × R
    3.55199999999556e-05 × 6371000     		dl = 226.297919999717m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73631652--0.73635204) × R
    3.55199999999556e-05 × 6371000     		dr = 226.297919999717m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70563116-0.70567910) × cos(-0.73631652) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.740947269375537 × 6371000     		do = 226.304368049854m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70563116-0.70567910) × cos(-0.73635204) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.740923414982934 × 6371000     		du = 226.297082304341m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73631652)-sin(-0.73635204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.740947269375537-0.740923414982934)×R²
    abs(0.70567910-0.70563116)×2.38543926027734e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38543926027734e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38543926027734e-05×40589641000000     		ar = 51211.3834074126m²