Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80245 / 82333
↖ ↑ ↗
← S 41.830688°
E 40.399475°		 ← 227.53 m → S 41.830688°
E 40.402221°		 →
↑
227.57 m
↓
↑
227.57 m
↓
S 41.832735°
E 40.399475°		 ← 227.52 m →
51 779 m²		 S 41.832735°
E 40.402221°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80245 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82333 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.612224578857422 y=0.628154754638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.612224578857422 × 217)
    floor (0.612224578857422 × 131072)
    floor (80245.5)     		tx = 80245
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628154754638672 × 217)
    floor (0.628154754638672 × 131072)
    floor (82333.5)     		ty = 82333
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80245 / 82333 ti = "17/80245/82333"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80245/82333.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80245 ÷ 217
    80245 ÷ 131072     		x = 0.612220764160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82333 ÷ 217
    82333 ÷ 131072     		y = 0.628150939941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.612220764160156 × 2 - 1) × π
    0.224441528320312 × 3.1415926535     		Λ = 0.70510386
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628150939941406 × 2 - 1) × π
    -0.256301879882812 × 3.1415926535     		Φ = -0.805196102918083
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70510386} λ = 0.70510386}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.805196102918083))-π/2
    2×atan(0.447000259908442)-π/2
    2×0.420356541490661-π/2
    0.840713082981322-1.57079632675     		φ = -0.73008324
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70510386} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.399475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73008324 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.830688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80245 KachelY 82333 0.70510386 -0.73008324 40.399475 -41.830688
    Oben rechts KachelX + 1 80246 KachelY 82333 0.70515179 -0.73008324 40.402221 -41.830688
    Unten links KachelX 80245 KachelY + 1 82334 0.70510386 -0.73011896 40.399475 -41.832735
    Unten rechts KachelX + 1 80246 KachelY + 1 82334 0.70515179 -0.73011896 40.402221 -41.832735
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73008324--0.73011896) × R
    3.57199999999613e-05 × 6371000     		dl = 227.572119999754m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73008324--0.73011896) × R
    3.57199999999613e-05 × 6371000     		dr = 227.572119999754m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70510386-0.70515179) × cos(-0.73008324) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.745118889534898 × 6371000     		do = 227.531016699335m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70510386-0.70515179) × cos(-0.73011896) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.745095066260617 × 6371000     		du = 227.523741975939m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73008324)-sin(-0.73011896))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.745118889534898-0.745095066260617)×R²
    abs(0.70515179-0.70510386)×2.38232742817424e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.38232742817424e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.38232742817424e-05×40589641000000     		ar = 51778.8880794522m²