Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 80245 / 82203
↖ ↑ ↗
← S 41.564087°
E 40.399475°		 ← 228.48 m → S 41.564087°
E 40.402221°		 →
↑
228.46 m
↓
↑
228.46 m
↓
S 41.566142°
E 40.399475°		 ← 228.47 m →
52 198 m²		 S 41.566142°
E 40.402221°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80245 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82203 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.612224578857422 y=0.627162933349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.612224578857422 × 217)
    floor (0.612224578857422 × 131072)
    floor (80245.5)     		tx = 80245
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627162933349609 × 217)
    floor (0.627162933349609 × 131072)
    floor (82203.5)     		ty = 82203
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80245 / 82203 ti = "17/80245/82203"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80245/82203.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80245 ÷ 217
    80245 ÷ 131072     		x = 0.612220764160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82203 ÷ 217
    82203 ÷ 131072     		y = 0.627159118652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.612220764160156 × 2 - 1) × π
    0.224441528320312 × 3.1415926535     		Λ = 0.70510386
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627159118652344 × 2 - 1) × π
    -0.254318237304688 × 3.1415926535     		Φ = -0.798964305967476
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70510386} λ = 0.70510386}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.798964305967476))-π/2
    2×atan(0.449794572516298)-π/2
    2×0.422683079334449-π/2
    0.845366158668899-1.57079632675     		φ = -0.72543017
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70510386} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.399475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72543017 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.564087°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80245 KachelY 82203 0.70510386 -0.72543017 40.399475 -41.564087
    Oben rechts KachelX + 1 80246 KachelY 82203 0.70515179 -0.72543017 40.402221 -41.564087
    Unten links KachelX 80245 KachelY + 1 82204 0.70510386 -0.72546603 40.399475 -41.566142
    Unten rechts KachelX + 1 80246 KachelY + 1 82204 0.70515179 -0.72546603 40.402221 -41.566142
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72543017--0.72546603) × R
    3.58599999999987e-05 × 6371000     		dl = 228.464059999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72543017--0.72546603) × R
    3.58599999999987e-05 × 6371000     		dr = 228.464059999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70510386-0.70515179) × cos(-0.72543017) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.748214091748096 × 6371000     		do = 228.476173930415m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70510386-0.70515179) × cos(-0.72546603) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.748190299685974 × 6371000     		du = 228.468908738028m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72543017)-sin(-0.72546603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.748214091748096-0.748190299685974)×R²
    abs(0.70515179-0.70510386)×2.37920621216636e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.37920621216636e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.37920621216636e-05×40589641000000     		ar = 52197.7643972769m²