Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 80241 / 82481
↖ ↑ ↗
← S 42.132858°
E 40.388489°		 ← 226.50 m → S 42.132858°
E 40.391236°		 →
↑
226.49 m
↓
↑
226.49 m
↓
S 42.134895°
E 40.388489°		 ← 226.49 m →
51 299 m²		 S 42.134895°
E 40.391236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80241 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82481 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.612194061279297 y=0.629283905029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.612194061279297 × 217)
    floor (0.612194061279297 × 131072)
    floor (80241.5)     		tx = 80241
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629283905029297 × 217)
    floor (0.629283905029297 × 131072)
    floor (82481.5)     		ty = 82481
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80241 / 82481 ti = "17/80241/82481"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80241/82481.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80241 ÷ 217
    80241 ÷ 131072     		x = 0.612190246582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82481 ÷ 217
    82481 ÷ 131072     		y = 0.629280090332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.612190246582031 × 2 - 1) × π
    0.224380493164062 × 3.1415926535     		Λ = 0.70491211
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629280090332031 × 2 - 1) × π
    -0.258560180664062 × 3.1415926535     		Φ = -0.812290764061852
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70491211} λ = 0.70491211}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.812290764061852))-π/2
    2×atan(0.44384016768004)-π/2
    2×0.417719614184169-π/2
    0.835439228368337-1.57079632675     		φ = -0.73535710
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70491211} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.388489°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73535710 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.132858°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80241 KachelY 82481 0.70491211 -0.73535710 40.388489 -42.132858
    Oben rechts KachelX + 1 80242 KachelY 82481 0.70496005 -0.73535710 40.391236 -42.132858
    Unten links KachelX 80241 KachelY + 1 82482 0.70491211 -0.73539265 40.388489 -42.134895
    Unten rechts KachelX + 1 80242 KachelY + 1 82482 0.70496005 -0.73539265 40.391236 -42.134895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73535710--0.73539265) × R
    3.55499999999953e-05 × 6371000     		dl = 226.48904999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73535710--0.73539265) × R
    3.55499999999953e-05 × 6371000     		dr = 226.48904999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70491211-0.70496005) × cos(-0.73535710) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.741591239434859 × 6371000     		do = 226.50105308176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70491211-0.70496005) × cos(-0.73539265) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.741567390176918 × 6371000     		du = 226.493768904505m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73535710)-sin(-0.73539265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.741591239434859-0.741567390176918)×R²
    abs(0.70496005-0.70491211)×2.38492579410776e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38492579410776e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38492579410776e-05×40589641000000     		ar = 51299.1834486539m²