Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80241 / 82342
↖ ↑ ↗
← S 41.849105°
E 40.388489°		 ← 227.51 m → S 41.849105°
E 40.391236°		 →
↑
227.44 m
↓
↑
227.44 m
↓
S 41.851150°
E 40.388489°		 ← 227.51 m →
51 746 m²		 S 41.851150°
E 40.391236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80241 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82342 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.612194061279297 y=0.628223419189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.612194061279297 × 217)
    floor (0.612194061279297 × 131072)
    floor (80241.5)     		tx = 80241
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628223419189453 × 217)
    floor (0.628223419189453 × 131072)
    floor (82342.5)     		ty = 82342
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80241 / 82342 ti = "17/80241/82342"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80241/82342.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80241 ÷ 217
    80241 ÷ 131072     		x = 0.612190246582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82342 ÷ 217
    82342 ÷ 131072     		y = 0.628219604492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.612190246582031 × 2 - 1) × π
    0.224380493164062 × 3.1415926535     		Λ = 0.70491211
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628219604492188 × 2 - 1) × π
    -0.256439208984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.805627535014664
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70491211} λ = 0.70491211}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.805627535014664))-π/2
    2×atan(0.446807451244052)-π/2
    2×0.420195830513874-π/2
    0.840391661027749-1.57079632675     		φ = -0.73040467
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70491211} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.388489°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73040467 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.849105°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80241 KachelY 82342 0.70491211 -0.73040467 40.388489 -41.849105
    Oben rechts KachelX + 1 80242 KachelY 82342 0.70496005 -0.73040467 40.391236 -41.849105
    Unten links KachelX 80241 KachelY + 1 82343 0.70491211 -0.73044037 40.388489 -41.851150
    Unten rechts KachelX + 1 80242 KachelY + 1 82343 0.70496005 -0.73044037 40.391236 -41.851150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73040467--0.73044037) × R
    3.56999999999719e-05 × 6371000     		dl = 227.444699999821m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73040467--0.73044037) × R
    3.56999999999719e-05 × 6371000     		dr = 227.444699999821m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70491211-0.70496005) × cos(-0.73040467) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.744904479202976 × 6371000     		do = 227.513001789734m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70491211-0.70496005) × cos(-0.73044037) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.744880660718949 × 6371000     		du = 227.505727011625m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73040467)-sin(-0.73044037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.744904479202976-0.744880660718949)×R²
    abs(0.70496005-0.70491211)×2.38184840268829e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38184840268829e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38184840268829e-05×40589641000000     		ar = 51745.7991386572m²