Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80234 / 18874
↖ ↑ ↗
← N 77.808251°
E 40.369263°		 ← 64.50 m → N 77.808251°
E 40.372009°		 →
↑
64.47 m
↓
↑
64.47 m
↓
N 77.807671°
E 40.369263°		 ← 64.50 m →
4 159 m²		 N 77.807671°
E 40.372009°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80234 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.612140655517578 y=0.144001007080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.612140655517578 × 217)
    floor (0.612140655517578 × 131072)
    floor (80234.5)     		tx = 80234
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144001007080078 × 217)
    floor (0.144001007080078 × 131072)
    floor (18874.5)     		ty = 18874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80234 / 18874 ti = "17/80234/18874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80234/18874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80234 ÷ 217
    80234 ÷ 131072     		x = 0.612136840820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18874 ÷ 217
    18874 ÷ 131072     		y = 0.143997192382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.612136840820312 × 2 - 1) × π
    0.224273681640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.70457655
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143997192382812 × 2 - 1) × π
    0.712005615234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.23683161007106
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70457655} λ = 0.70457655}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23683161007106))-π/2
    2×atan(9.36361664982974)-π/2
    2×1.46440324978699-π/2
    2.92880649957399-1.57079632675     		φ = 1.35801017
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70457655} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.369263°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35801017 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.808251°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80234 KachelY 18874 0.70457655 1.35801017 40.369263 77.808251
    Oben rechts KachelX + 1 80235 KachelY 18874 0.70462449 1.35801017 40.372009 77.808251
    Unten links KachelX 80234 KachelY + 1 18875 0.70457655 1.35800005 40.369263 77.807671
    Unten rechts KachelX + 1 80235 KachelY + 1 18875 0.70462449 1.35800005 40.372009 77.807671
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35801017-1.35800005) × R
    1.01200000000023e-05 × 6371000     		dl = 64.474520000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35801017-1.35800005) × R
    1.01200000000023e-05 × 6371000     		dr = 64.474520000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70457655-0.70462449) × cos(1.35801017) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.211184034697151 × 6371000     		do = 64.5010400736703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70457655-0.70462449) × cos(1.35800005) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.21119392644307 × 6371000     		du = 64.5040612674872m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35801017)-sin(1.35800005))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211184034697151-0.21119392644307)×R²
    abs(0.70462449-0.70457655)×9.89174591822795e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.89174591822795e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.89174591822795e-06×40589641000000     		ar = 4158.7709933878m²