Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80219 / 82455
↖ ↑ ↗
← S 42.079878°
E 40.328064°		 ← 226.64 m → S 42.079878°
E 40.330810°		 →
↑
226.68 m
↓
↑
226.68 m
↓
S 42.081917°
E 40.328064°		 ← 226.64 m →
51 375 m²		 S 42.081917°
E 40.330810°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80219 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82455 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.612026214599609 y=0.629085540771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.612026214599609 × 217)
    floor (0.612026214599609 × 131072)
    floor (80219.5)     		tx = 80219
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629085540771484 × 217)
    floor (0.629085540771484 × 131072)
    floor (82455.5)     		ty = 82455
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80219 / 82455 ti = "17/80219/82455"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80219/82455.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80219 ÷ 217
    80219 ÷ 131072     		x = 0.612022399902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82455 ÷ 217
    82455 ÷ 131072     		y = 0.629081726074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.612022399902344 × 2 - 1) × π
    0.224044799804688 × 3.1415926535     		Λ = 0.70385750
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629081726074219 × 2 - 1) × π
    -0.258163452148438 × 3.1415926535     		Φ = -0.81104440467173
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70385750} λ = 0.70385750}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.81104440467173))-π/2
    2×atan(0.444393696917268)-π/2
    2×0.418181951980065-π/2
    0.836363903960129-1.57079632675     		φ = -0.73443242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70385750} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.328064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73443242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.079878°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80219 KachelY 82455 0.70385750 -0.73443242 40.328064 -42.079878
    Oben rechts KachelX + 1 80220 KachelY 82455 0.70390543 -0.73443242 40.330810 -42.079878
    Unten links KachelX 80219 KachelY + 1 82456 0.70385750 -0.73446800 40.328064 -42.081917
    Unten rechts KachelX + 1 80220 KachelY + 1 82456 0.70390543 -0.73446800 40.330810 -42.081917
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73443242--0.73446800) × R
    3.5580000000035e-05 × 6371000     		dl = 226.680180000223m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73443242--0.73446800) × R
    3.5580000000035e-05 × 6371000     		dr = 226.680180000223m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70385750-0.70390543) × cos(-0.73443242) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.742211245750396 × 6371000     		do = 226.643132691309m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70385750-0.70390543) × cos(-0.73446800) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.742187400774348 × 6371000     		du = 226.635851341017m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73443242)-sin(-0.73446800))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.742211245750396-0.742187400774348)×R²
    abs(0.70390543-0.70385750)×2.38449760479043e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38449760479043e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38449760479043e-05×40589641000000     		ar = 51374.6808508355m²