Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80218 / 82453
↖ ↑ ↗
← S 42.075801°
E 40.325317°		 ← 226.70 m → S 42.075801°
E 40.328064°		 →
↑
226.68 m
↓
↑
226.68 m
↓
S 42.077839°
E 40.325317°		 ← 226.70 m →
51 389 m²		 S 42.077839°
E 40.328064°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80218 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82453 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.612018585205078 y=0.629070281982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.612018585205078 × 217)
    floor (0.612018585205078 × 131072)
    floor (80218.5)     		tx = 80218
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629070281982422 × 217)
    floor (0.629070281982422 × 131072)
    floor (82453.5)     		ty = 82453
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80218 / 82453 ti = "17/80218/82453"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80218/82453.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80218 ÷ 217
    80218 ÷ 131072     		x = 0.612014770507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82453 ÷ 217
    82453 ÷ 131072     		y = 0.629066467285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.612014770507812 × 2 - 1) × π
    0.224029541015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.70380956
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629066467285156 × 2 - 1) × π
    -0.258132934570312 × 3.1415926535     		Φ = -0.81094853087249
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70380956} λ = 0.70380956}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.81094853087249))-π/2
    2×atan(0.444436304671801)-π/2
    2×0.418217532428962-π/2
    0.836435064857924-1.57079632675     		φ = -0.73436126
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70380956} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.325317°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73436126 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.075801°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80218 KachelY 82453 0.70380956 -0.73436126 40.325317 -42.075801
    Oben rechts KachelX + 1 80219 KachelY 82453 0.70385750 -0.73436126 40.328064 -42.075801
    Unten links KachelX 80218 KachelY + 1 82454 0.70380956 -0.73439684 40.325317 -42.077839
    Unten rechts KachelX + 1 80219 KachelY + 1 82454 0.70385750 -0.73439684 40.328064 -42.077839
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73436126--0.73439684) × R
    3.5580000000035e-05 × 6371000     		dl = 226.680180000223m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73436126--0.73439684) × R
    3.5580000000035e-05 × 6371000     		dr = 226.680180000223m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70380956-0.70385750) × cos(-0.73436126) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.742258932883685 × 6371000     		do = 226.704983847986m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70380956-0.70385750) × cos(-0.73439684) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.742235089786852 × 6371000     		du = 226.697701552492m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73436126)-sin(-0.73439684))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.742258932883685-0.742235089786852)×R²
    abs(0.70385750-0.70380956)×2.38430968332315e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.38430968332315e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.38430968332315e-05×40589641000000     		ar = 51388.7011750409m²