Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80217 / 18889
↖ ↑ ↗
← N 77.799548°
E 40.322571°		 ← 64.55 m → N 77.799548°
E 40.325317°		 →
↑
64.54 m
↓
↑
64.54 m
↓
N 77.798968°
E 40.322571°		 ← 64.55 m →
4 166 m²		 N 77.798968°
E 40.325317°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80217 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18889 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.612010955810547 y=0.144115447998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.612010955810547 × 217)
    floor (0.612010955810547 × 131072)
    floor (80217.5)     		tx = 80217
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144115447998047 × 217)
    floor (0.144115447998047 × 131072)
    floor (18889.5)     		ty = 18889
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80217 / 18889 ti = "17/80217/18889"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80217/18889.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80217 ÷ 217
    80217 ÷ 131072     		x = 0.612007141113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18889 ÷ 217
    18889 ÷ 131072     		y = 0.144111633300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.612007141113281 × 2 - 1) × π
    0.224014282226562 × 3.1415926535     		Λ = 0.70376162
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144111633300781 × 2 - 1) × π
    0.711776733398438 × 3.1415926535     		Φ = 2.23611255657676
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70376162} λ = 0.70376162}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23611255657676))-π/2
    2×atan(9.35688612865077)-π/2
    2×1.46432729679109-π/2
    2.92865459358217-1.57079632675     		φ = 1.35785827
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70376162} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.322571°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35785827 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.799548°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80217 KachelY 18889 0.70376162 1.35785827 40.322571 77.799548
    Oben rechts KachelX + 1 80218 KachelY 18889 0.70380956 1.35785827 40.325317 77.799548
    Unten links KachelX 80217 KachelY + 1 18890 0.70376162 1.35784814 40.322571 77.798968
    Unten rechts KachelX + 1 80218 KachelY + 1 18890 0.70380956 1.35784814 40.325317 77.798968
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35785827-1.35784814) × R
    1.01299999999416e-05 × 6371000     		dl = 64.5382299996278m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35785827-1.35784814) × R
    1.01299999999416e-05 × 6371000     		dr = 64.5382299996278m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70376162-0.70380956) × cos(1.35785827) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.211332506355812 × 6371000     		do = 64.5463871397362m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70376162-0.70380956) × cos(1.35784814) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.211342407551091 × 6371000     		du = 64.5494112196312m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35785827)-sin(1.35784814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211332506355812-0.211342407551091)×R²
    abs(0.70380956-0.70376162)×9.90119527932709e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.90119527932709e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.90119527932709e-06×40589641000000     		ar = 4165.80716333574m²