Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80210 / 82454
↖ ↑ ↗
← S 42.077839°
E 40.303345°		 ← 226.65 m → S 42.077839°
E 40.306091°		 →
↑
226.68 m
↓
↑
226.68 m
↓
S 42.079878°
E 40.303345°		 ← 226.64 m →
51 376 m²		 S 42.079878°
E 40.306091°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82454 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611957550048828 y=0.629077911376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611957550048828 × 217)
    floor (0.611957550048828 × 131072)
    floor (80210.5)     		tx = 80210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629077911376953 × 217)
    floor (0.629077911376953 × 131072)
    floor (82454.5)     		ty = 82454
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80210 / 82454 ti = "17/80210/82454"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80210/82454.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80210 ÷ 217
    80210 ÷ 131072     		x = 0.611953735351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82454 ÷ 217
    82454 ÷ 131072     		y = 0.629074096679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611953735351562 × 2 - 1) × π
    0.223907470703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.70342607
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629074096679688 × 2 - 1) × π
    -0.258148193359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.81099646777211
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70342607} λ = 0.70342607}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.81099646777211))-π/2
    2×atan(0.444415000283913)-π/2
    2×0.418199741918763-π/2
    0.836399483837526-1.57079632675     		φ = -0.73439684
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70342607} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.303345°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73439684 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.077839°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80210 KachelY 82454 0.70342607 -0.73439684 40.303345 -42.077839
    Oben rechts KachelX + 1 80211 KachelY 82454 0.70347400 -0.73439684 40.306091 -42.077839
    Unten links KachelX 80210 KachelY + 1 82455 0.70342607 -0.73443242 40.303345 -42.079878
    Unten rechts KachelX + 1 80211 KachelY + 1 82455 0.70347400 -0.73443242 40.306091 -42.079878
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73439684--0.73443242) × R
    3.5579999999924e-05 × 6371000     		dl = 226.680179999516m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73439684--0.73443242) × R
    3.5579999999924e-05 × 6371000     		dr = 226.680179999516m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70342607-0.70347400) × cos(-0.73439684) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.742235089786852 × 6371000     		do = 226.650413754684m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70342607-0.70347400) × cos(-0.73443242) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.742211245750396 × 6371000     		du = 226.643132691309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73439684)-sin(-0.73443242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.742235089786852-0.742211245750396)×R²
    abs(0.70347400-0.70342607)×2.38440364556114e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38440364556114e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38440364556114e-05×40589641000000     		ar = 51376.3313557763m²