Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80204 / 82215
↖ ↑ ↗
← S 41.588743°
E 40.286865°		 ← 228.44 m → S 41.588743°
E 40.289612°		 →
↑
228.40 m
↓
↑
228.40 m
↓
S 41.590797°
E 40.286865°		 ← 228.43 m →
52 174 m²		 S 41.590797°
E 40.289612°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80204 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82215 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611911773681641 y=0.627254486083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611911773681641 × 217)
    floor (0.611911773681641 × 131072)
    floor (80204.5)     		tx = 80204
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627254486083984 × 217)
    floor (0.627254486083984 × 131072)
    floor (82215.5)     		ty = 82215
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80204 / 82215 ti = "17/80204/82215"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80204/82215.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80204 ÷ 217
    80204 ÷ 131072     		x = 0.611907958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82215 ÷ 217
    82215 ÷ 131072     		y = 0.627250671386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611907958984375 × 2 - 1) × π
    0.22381591796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.70313844
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627250671386719 × 2 - 1) × π
    -0.254501342773438 × 3.1415926535     		Φ = -0.799539548762917
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70313844} λ = 0.70313844}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.799539548762917))-π/2
    2×atan(0.449535905834235)-π/2
    2×0.422467918018541-π/2
    0.844935836037082-1.57079632675     		φ = -0.72586049
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70313844} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.286865°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72586049 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.588743°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80204 KachelY 82215 0.70313844 -0.72586049 40.286865 -41.588743
    Oben rechts KachelX + 1 80205 KachelY 82215 0.70318638 -0.72586049 40.289612 -41.588743
    Unten links KachelX 80204 KachelY + 1 82216 0.70313844 -0.72589634 40.286865 -41.590797
    Unten rechts KachelX + 1 80205 KachelY + 1 82216 0.70318638 -0.72589634 40.289612 -41.590797
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72586049--0.72589634) × R
    3.58500000000594e-05 × 6371000     		dl = 228.400350000379m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72586049--0.72589634) × R
    3.58500000000594e-05 × 6371000     		dr = 228.400350000379m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70313844-0.70318638) × cos(-0.72586049) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.74792852350895 × 6371000     		do = 228.436622759679m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70313844-0.70318638) × cos(-0.72589634) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.747904726541378 × 6371000     		du = 228.429354553248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72586049)-sin(-0.72589634))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.74792852350895-0.747904726541378)×R²
    abs(0.70318638-0.70313844)×2.37969675717098e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37969675717098e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37969675717098e-05×40589641000000     		ar = 52174.1745662707m²