Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 80203 / 82359
↖ ↑ ↗
← S 41.883876°
E 40.284119°		 ← 227.34 m → S 41.883876°
E 40.286865°		 →
↑
227.38 m
↓
↑
227.38 m
↓
S 41.885921°
E 40.284119°		 ← 227.33 m →
51 692 m²		 S 41.885921°
E 40.286865°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80203 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82359 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611904144287109 y=0.628353118896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611904144287109 × 217)
    floor (0.611904144287109 × 131072)
    floor (80203.5)     		tx = 80203
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628353118896484 × 217)
    floor (0.628353118896484 × 131072)
    floor (82359.5)     		ty = 82359
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80203 / 82359 ti = "17/80203/82359"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80203/82359.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80203 ÷ 217
    80203 ÷ 131072     		x = 0.611900329589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82359 ÷ 217
    82359 ÷ 131072     		y = 0.628349304199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611900329589844 × 2 - 1) × π
    0.223800659179688 × 3.1415926535     		Λ = 0.70309051
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628349304199219 × 2 - 1) × π
    -0.256698608398438 × 3.1415926535     		Φ = -0.806442462308205
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70309051} λ = 0.70309051}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.806442462308205))-π/2
    2×atan(0.446443483980647)-π/2
    2×0.419892391532515-π/2
    0.839784783065029-1.57079632675     		φ = -0.73101154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70309051} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.284119°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73101154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.883876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80203 KachelY 82359 0.70309051 -0.73101154 40.284119 -41.883876
    Oben rechts KachelX + 1 80204 KachelY 82359 0.70313844 -0.73101154 40.286865 -41.883876
    Unten links KachelX 80203 KachelY + 1 82360 0.70309051 -0.73104723 40.284119 -41.885921
    Unten rechts KachelX + 1 80204 KachelY + 1 82360 0.70313844 -0.73104723 40.286865 -41.885921
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73101154--0.73104723) × R
    3.56900000000326e-05 × 6371000     		dl = 227.380990000208m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73101154--0.73104723) × R
    3.56900000000326e-05 × 6371000     		dr = 227.380990000208m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70309051-0.70313844) × cos(-0.73101154) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.744499455913217 × 6371000     		do = 227.341865191695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70309051-0.70313844) × cos(-0.73104723) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.744475627971783 × 6371000     		du = 227.334589043128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73101154)-sin(-0.73104723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.744499455913217-0.744475627971783)×R²
    abs(0.70313844-0.70309051)×2.38279414337406e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38279414337406e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38279414337406e-05×40589641000000     		ar = 51692.3911522167m²