Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80191 / 82284
↖ ↑ ↗
← S 41.730330°
E 40.251159°		 ← 227.93 m → S 41.730330°
E 40.253906°		 →
↑
227.89 m
↓
↑
227.89 m
↓
S 41.732380°
E 40.251159°		 ← 227.93 m →
51 943 m²		 S 41.732380°
E 40.253906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80191 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82284 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611812591552734 y=0.627780914306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611812591552734 × 217)
    floor (0.611812591552734 × 131072)
    floor (80191.5)     		tx = 80191
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627780914306641 × 217)
    floor (0.627780914306641 × 131072)
    floor (82284.5)     		ty = 82284
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80191 / 82284 ti = "17/80191/82284"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80191/82284.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80191 ÷ 217
    80191 ÷ 131072     		x = 0.611808776855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82284 ÷ 217
    82284 ÷ 131072     		y = 0.627777099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611808776855469 × 2 - 1) × π
    0.223617553710938 × 3.1415926535     		Λ = 0.70251526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627777099609375 × 2 - 1) × π
    -0.25555419921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.8028471948367
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70251526} λ = 0.70251526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.8028471948367))-π/2
    2×atan(0.448051456530121)-π/2
    2×0.421232334743725-π/2
    0.842464669487449-1.57079632675     		φ = -0.72833166
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70251526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.251159°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72833166 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.730330°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80191 KachelY 82284 0.70251526 -0.72833166 40.251159 -41.730330
    Oben rechts KachelX + 1 80192 KachelY 82284 0.70256320 -0.72833166 40.253906 -41.730330
    Unten links KachelX 80191 KachelY + 1 82285 0.70251526 -0.72836743 40.251159 -41.732380
    Unten rechts KachelX + 1 80192 KachelY + 1 82285 0.70256320 -0.72836743 40.253906 -41.732380
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72833166--0.72836743) × R
    3.57699999999905e-05 × 6371000     		dl = 227.89066999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72833166--0.72836743) × R
    3.57699999999905e-05 × 6371000     		dr = 227.89066999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70251526-0.70256320) × cos(-0.72833166) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.746285930072162 × 6371000     		do = 227.934932444257m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70251526-0.70256320) × cos(-0.72836743) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.746262120170482 × 6371000     		du = 227.927660287417m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72833166)-sin(-0.72836743))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.746285930072162-0.746262120170482)×R²
    abs(0.70256320-0.70251526)×2.38099016799387e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.38099016799387e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.38099016799387e-05×40589641000000     		ar = 51943.4158482397m²