Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 80190 / 82285
↖ ↑ ↗
← S 41.732380°
E 40.248413°		 ← 227.88 m → S 41.732380°
E 40.251159°		 →
↑
227.89 m
↓
↑
227.89 m
↓
S 41.734429°
E 40.248413°		 ← 227.87 m →
51 931 m²		 S 41.734429°
E 40.251159°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80190 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82285 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611804962158203 y=0.627788543701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611804962158203 × 217)
    floor (0.611804962158203 × 131072)
    floor (80190.5)     		tx = 80190
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627788543701172 × 217)
    floor (0.627788543701172 × 131072)
    floor (82285.5)     		ty = 82285
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80190 / 82285 ti = "17/80190/82285"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80190/82285.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80190 ÷ 217
    80190 ÷ 131072     		x = 0.611801147460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82285 ÷ 217
    82285 ÷ 131072     		y = 0.627784729003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611801147460938 × 2 - 1) × π
    0.223602294921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.70246733
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627784729003906 × 2 - 1) × π
    -0.255569458007812 × 3.1415926535     		Φ = -0.802895131736321
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70246733} λ = 0.70246733}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.802895131736321))-π/2
    2×atan(0.448029978847216)-π/2
    2×0.421214447712198-π/2
    0.842428895424396-1.57079632675     		φ = -0.72836743
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70246733} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.248413°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72836743 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.732380°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80190 KachelY 82285 0.70246733 -0.72836743 40.248413 -41.732380
    Oben rechts KachelX + 1 80191 KachelY 82285 0.70251526 -0.72836743 40.251159 -41.732380
    Unten links KachelX 80190 KachelY + 1 82286 0.70246733 -0.72840320 40.248413 -41.734429
    Unten rechts KachelX + 1 80191 KachelY + 1 82286 0.70251526 -0.72840320 40.251159 -41.734429
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72836743--0.72840320) × R
    3.57699999999905e-05 × 6371000     		dl = 227.89066999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72836743--0.72840320) × R
    3.57699999999905e-05 × 6371000     		dr = 227.89066999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70246733-0.70251526) × cos(-0.72836743) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.746262120170482 × 6371000     		do = 227.880115927502m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70246733-0.70251526) × cos(-0.72840320) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.746238309313965 × 6371000     		du = 227.87284499602m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72836743)-sin(-0.72840320))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.746262120170482-0.746238309313965)×R²
    abs(0.70251526-0.70246733)×2.3810856517037e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3810856517037e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3810856517037e-05×40589641000000     		ar = 51930.9238153326m²