Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80184 / 82216
↖ ↑ ↗
← S 41.590797°
E 40.231934°		 ← 228.38 m → S 41.590797°
E 40.234680°		 →
↑
228.46 m
↓
↑
228.46 m
↓
S 41.592851°
E 40.231934°		 ← 228.37 m →
52 176 m²		 S 41.592851°
E 40.234680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82216 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611759185791016 y=0.627262115478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611759185791016 × 217)
    floor (0.611759185791016 × 131072)
    floor (80184.5)     		tx = 80184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627262115478516 × 217)
    floor (0.627262115478516 × 131072)
    floor (82216.5)     		ty = 82216
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80184 / 82216 ti = "17/80184/82216"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80184/82216.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80184 ÷ 217
    80184 ÷ 131072     		x = 0.61175537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82216 ÷ 217
    82216 ÷ 131072     		y = 0.62725830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61175537109375 × 2 - 1) × π
    0.2235107421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.70217971
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62725830078125 × 2 - 1) × π
    -0.2545166015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.799587485662537
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70217971} λ = 0.70217971}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.799587485662537))-π/2
    2×atan(0.449514356993138)-π/2
    2×0.422449991616486-π/2
    0.844899983232972-1.57079632675     		φ = -0.72589634
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70217971} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.231934°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72589634 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.590797°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80184 KachelY 82216 0.70217971 -0.72589634 40.231934 -41.590797
    Oben rechts KachelX + 1 80185 KachelY 82216 0.70222764 -0.72589634 40.234680 -41.590797
    Unten links KachelX 80184 KachelY + 1 82217 0.70217971 -0.72593220 40.231934 -41.592851
    Unten rechts KachelX + 1 80185 KachelY + 1 82217 0.70222764 -0.72593220 40.234680 -41.592851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72589634--0.72593220) × R
    3.58599999999987e-05 × 6371000     		dl = 228.464059999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72589634--0.72593220) × R
    3.58599999999987e-05 × 6371000     		dr = 228.464059999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70217971-0.70222764) × cos(-0.72589634) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.747904726541378 × 6371000     		do = 228.38170554341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70217971-0.70222764) × cos(-0.72593220) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.747880921974254 × 6371000     		du = 228.37443653247m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72589634)-sin(-0.72593220))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.747904726541378-0.747880921974254)×R²
    abs(0.70222764-0.70217971)×2.38045671245857e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38045671245857e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38045671245857e-05×40589641000000     		ar = 52176.1813299936m²