Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 80180 / 82357
↖ ↑ ↗
← S 41.879786°
E 40.220947°		 ← 227.36 m → S 41.879786°
E 40.223694°		 →
↑
227.38 m
↓
↑
227.38 m
↓
S 41.881831°
E 40.220947°		 ← 227.35 m →
51 696 m²		 S 41.881831°
E 40.223694°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82357 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611728668212891 y=0.628337860107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611728668212891 × 217)
    floor (0.611728668212891 × 131072)
    floor (80180.5)     		tx = 80180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628337860107422 × 217)
    floor (0.628337860107422 × 131072)
    floor (82357.5)     		ty = 82357
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80180 / 82357 ti = "17/80180/82357"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80180/82357.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80180 ÷ 217
    80180 ÷ 131072     		x = 0.611724853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82357 ÷ 217
    82357 ÷ 131072     		y = 0.628334045410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611724853515625 × 2 - 1) × π
    0.22344970703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.70198796
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628334045410156 × 2 - 1) × π
    -0.256668090820312 × 3.1415926535     		Φ = -0.806346588508965
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70198796} λ = 0.70198796}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.806346588508965))-π/2
    2×atan(0.446486288265474)-π/2
    2×0.419928081670257-π/2
    0.839856163340515-1.57079632675     		φ = -0.73094016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70198796} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.220947°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73094016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.879786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80180 KachelY 82357 0.70198796 -0.73094016 40.220947 -41.879786
    Oben rechts KachelX + 1 80181 KachelY 82357 0.70203589 -0.73094016 40.223694 -41.879786
    Unten links KachelX 80180 KachelY + 1 82358 0.70198796 -0.73097585 40.220947 -41.881831
    Unten rechts KachelX + 1 80181 KachelY + 1 82358 0.70203589 -0.73097585 40.223694 -41.881831
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73094016--0.73097585) × R
    3.56900000000326e-05 × 6371000     		dl = 227.380990000208m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73094016--0.73097585) × R
    3.56900000000326e-05 × 6371000     		dr = 227.380990000208m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70198796-0.70203589) × cos(-0.73094016) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.744547108951077 × 6371000     		do = 227.356416620071m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70198796-0.70203589) × cos(-0.73097585) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.744523282906325 × 6371000     		du = 227.349141050679m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73094016)-sin(-0.73097585))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.744547108951077-0.744523282906325)×R²
    abs(0.70203589-0.70198796)×2.3826044752262e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3826044752262e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3826044752262e-05×40589641000000     		ar = 51695.6999362126m²