Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80180 / 18908
↖ ↑ ↗
← N 77.788515°
E 40.220947°		 ← 64.59 m → N 77.788515°
E 40.223694°		 →
↑
64.60 m
↓
↑
64.60 m
↓
N 77.787934°
E 40.220947°		 ← 64.59 m →
4 173 m²		 N 77.787934°
E 40.223694°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18908 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611728668212891 y=0.144260406494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611728668212891 × 217)
    floor (0.611728668212891 × 131072)
    floor (80180.5)     		tx = 80180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144260406494141 × 217)
    floor (0.144260406494141 × 131072)
    floor (18908.5)     		ty = 18908
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80180 / 18908 ti = "17/80180/18908"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80180/18908.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80180 ÷ 217
    80180 ÷ 131072     		x = 0.611724853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18908 ÷ 217
    18908 ÷ 131072     		y = 0.144256591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611724853515625 × 2 - 1) × π
    0.22344970703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.70198796
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144256591796875 × 2 - 1) × π
    0.71148681640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.23520175548398
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70198796} λ = 0.70198796}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23520175548398))-π/2
    2×atan(9.34836774640457)-π/2
    2×1.46423101300039-π/2
    2.92846202600078-1.57079632675     		φ = 1.35766570
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70198796} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.220947°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35766570 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.788515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80180 KachelY 18908 0.70198796 1.35766570 40.220947 77.788515
    Oben rechts KachelX + 1 80181 KachelY 18908 0.70203589 1.35766570 40.223694 77.788515
    Unten links KachelX 80180 KachelY + 1 18909 0.70198796 1.35765556 40.220947 77.787934
    Unten rechts KachelX + 1 80181 KachelY + 1 18909 0.70203589 1.35765556 40.223694 77.787934
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35766570-1.35765556) × R
    1.01400000001028e-05 × 6371000     		dl = 64.6019400006552m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35766570-1.35765556) × R
    1.01400000001028e-05 × 6371000     		dr = 64.6019400006552m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70198796-0.70203589) × cos(1.35766570) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.211520723093959 × 6371000     		do = 64.5903973910787m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70198796-0.70203589) × cos(1.35765556) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.211530633650505 × 6371000     		du = 64.5934236987441m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35766570)-sin(1.35765556))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211520723093959-0.211530633650505)×R²
    abs(0.70203589-0.70198796)×9.91055654642192e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.91055654642192e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.91055654642192e-06×40589641000000     		ar = 4172.76272961734m²