Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80174 / 82458
↖ ↑ ↗
← S 42.085994°
E 40.204468°		 ← 226.62 m → S 42.085994°
E 40.207214°		 →
↑
226.62 m
↓
↑
226.62 m
↓
S 42.088032°
E 40.204468°		 ← 226.61 m →
51 355 m²		 S 42.088032°
E 40.207214°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80174 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611682891845703 y=0.629108428955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611682891845703 × 217)
    floor (0.611682891845703 × 131072)
    floor (80174.5)     		tx = 80174
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629108428955078 × 217)
    floor (0.629108428955078 × 131072)
    floor (82458.5)     		ty = 82458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80174 / 82458 ti = "17/80174/82458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80174/82458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80174 ÷ 217
    80174 ÷ 131072     		x = 0.611679077148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82458 ÷ 217
    82458 ÷ 131072     		y = 0.629104614257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611679077148438 × 2 - 1) × π
    0.223358154296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.70170034
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629104614257812 × 2 - 1) × π
    -0.258209228515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.81118821537059
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70170034} λ = 0.70170034}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.81118821537059))-π/2
    2×atan(0.444329792944293)-π/2
    2×0.418128585593014-π/2
    0.836257171186029-1.57079632675     		φ = -0.73453916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70170034} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.204468°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73453916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.085994°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80174 KachelY 82458 0.70170034 -0.73453916 40.204468 -42.085994
    Oben rechts KachelX + 1 80175 KachelY 82458 0.70174827 -0.73453916 40.207214 -42.085994
    Unten links KachelX 80174 KachelY + 1 82459 0.70170034 -0.73457473 40.204468 -42.088032
    Unten rechts KachelX + 1 80175 KachelY + 1 82459 0.70174827 -0.73457473 40.207214 -42.088032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73453916--0.73457473) × R
    3.55699999999848e-05 × 6371000     		dl = 226.616469999903m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73453916--0.73457473) × R
    3.55699999999848e-05 × 6371000     		dr = 226.616469999903m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70170034-0.70174827) × cos(-0.73453916) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.742139708003597 × 6371000     		do = 226.621287779199m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70170034-0.70174827) × cos(-0.73457473) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.742115866911669 × 6371000     		du = 226.614007614971m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73453916)-sin(-0.73457473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.742139708003597-0.742115866911669)×R²
    abs(0.70174827-0.70170034)×2.38410919272125e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.38410919272125e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.38410919272125e-05×40589641000000     		ar = 51355.2913662757m²