Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8017 / 9650
↖ ↑ ↗
← S 30.486551°
W  3.845215°		 ← 2 105.49 m → S 30.486551°
W  3.823242°		 →
↑
2 105.23 m
↓
↑
2 105.23 m
↓
S 30.505484°
W  3.845215°		 ← 2 105.08 m →
4 432 118 m²		 S 30.505484°
W  3.823242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8017 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9650 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.489349365234375 y=0.589019775390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.489349365234375 × 214)
    floor (0.489349365234375 × 16384)
    floor (8017.5)     		tx = 8017
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589019775390625 × 214)
    floor (0.589019775390625 × 16384)
    floor (9650.5)     		ty = 9650
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8017 / 9650 ti = "14/8017/9650"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8017/9650.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8017 ÷ 214
    8017 ÷ 16384     		x = 0.48931884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9650 ÷ 214
    9650 ÷ 16384     		y = 0.5889892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48931884765625 × 2 - 1) × π
    -0.0213623046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.06711166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5889892578125 × 2 - 1) × π
    -0.177978515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.559135997168335
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.06711166} λ = -0.06711166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.559135997168335))-π/2
    2×atan(0.571702803362907)-π/2
    2×0.519352818514424-π/2
    1.03870563702885-1.57079632675     		φ = -0.53209069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.06711166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.845215°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53209069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.486551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8017 KachelY 9650 -0.06711166 -0.53209069 -3.845215 -30.486551
    Oben rechts KachelX + 1 8018 KachelY 9650 -0.06672816 -0.53209069 -3.823242 -30.486551
    Unten links KachelX 8017 KachelY + 1 9651 -0.06711166 -0.53242113 -3.845215 -30.505484
    Unten rechts KachelX + 1 8018 KachelY + 1 9651 -0.06672816 -0.53242113 -3.823242 -30.505484
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53209069--0.53242113) × R
    0.000330440000000043 × 6371000     		dl = 2105.23324000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53209069--0.53242113) × R
    0.000330440000000043 × 6371000     		dr = 2105.23324000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.06711166--0.06672816) × cos(-0.53209069) × R
    0.000383500000000009 × 0.861748272126041 × 6371000     		do = 2105.49102569775m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.06711166--0.06672816) × cos(-0.53242113) × R
    0.000383500000000009 × 0.861580580941742 × 6371000     		du = 2105.08130943252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53209069)-sin(-0.53242113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.861748272126041-0.861580580941742)×R²
    abs(-0.06672816--0.06711166)×0.000167691184299046×R²
    0.000383500000000009×0.000167691184299046×6371000²
    0.000383500000000009×0.000167691184299046×40589641000000     		ar = 4432118.45999986m²