Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80168 / 82232
↖ ↑ ↗
← S 41.623655°
E 40.187989°		 ← 228.27 m → S 41.623655°
E 40.190735°		 →
↑
228.34 m
↓
↑
228.34 m
↓
S 41.625709°
E 40.187989°		 ← 228.26 m →
52 121 m²		 S 41.625709°
E 40.190735°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80168 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611637115478516 y=0.627384185791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611637115478516 × 217)
    floor (0.611637115478516 × 131072)
    floor (80168.5)     		tx = 80168
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627384185791016 × 217)
    floor (0.627384185791016 × 131072)
    floor (82232.5)     		ty = 82232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80168 / 82232 ti = "17/80168/82232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80168/82232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80168 ÷ 217
    80168 ÷ 131072     		x = 0.61163330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82232 ÷ 217
    82232 ÷ 131072     		y = 0.62738037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61163330078125 × 2 - 1) × π
    0.2232666015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.70141272
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62738037109375 × 2 - 1) × π
    -0.2547607421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.800354476056457
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70141272} λ = 0.70141272}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.800354476056457))-π/2
    2×atan(0.449169715984462)-π/2
    2×0.422163246764516-π/2
    0.844326493529033-1.57079632675     		φ = -0.72646983
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70141272} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.187989°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72646983 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.623655°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80168 KachelY 82232 0.70141272 -0.72646983 40.187989 -41.623655
    Oben rechts KachelX + 1 80169 KachelY 82232 0.70146065 -0.72646983 40.190735 -41.623655
    Unten links KachelX 80168 KachelY + 1 82233 0.70141272 -0.72650567 40.187989 -41.625709
    Unten rechts KachelX + 1 80169 KachelY + 1 82233 0.70146065 -0.72650567 40.190735 -41.625709
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72646983--0.72650567) × R
    3.58400000000092e-05 × 6371000     		dl = 228.336640000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72646983--0.72650567) × R
    3.58400000000092e-05 × 6371000     		dr = 228.336640000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70141272-0.70146065) × cos(-0.72646983) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.747523917420415 × 6371000     		do = 228.26542089719m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70141272-0.70146065) × cos(-0.72650567) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.747500110761761 × 6371000     		du = 228.258151247576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72646983)-sin(-0.72650567))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.747523917420415-0.747500110761761)×R²
    abs(0.70146065-0.70141272)×2.38066586542018e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38066586542018e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38066586542018e-05×40589641000000     		ar = 52120.5292777121m²