Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80167 / 82329
↖ ↑ ↗
← S 41.822502°
E 40.185242°		 ← 227.61 m → S 41.822502°
E 40.187989°		 →
↑
227.57 m
↓
↑
227.57 m
↓
S 41.824549°
E 40.185242°		 ← 227.60 m →
51 796 m²		 S 41.824549°
E 40.187989°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80167 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82329 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611629486083984 y=0.628124237060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611629486083984 × 217)
    floor (0.611629486083984 × 131072)
    floor (80167.5)     		tx = 80167
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628124237060547 × 217)
    floor (0.628124237060547 × 131072)
    floor (82329.5)     		ty = 82329
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80167 / 82329 ti = "17/80167/82329"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80167/82329.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80167 ÷ 217
    80167 ÷ 131072     		x = 0.611625671386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82329 ÷ 217
    82329 ÷ 131072     		y = 0.628120422363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611625671386719 × 2 - 1) × π
    0.223251342773438 × 3.1415926535     		Λ = 0.70136478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628120422363281 × 2 - 1) × π
    -0.256240844726562 × 3.1415926535     		Φ = -0.805004355319603
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70136478} λ = 0.70136478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.805004355319603))-π/2
    2×atan(0.447085979352786)-π/2
    2×0.420427983436991-π/2
    0.840855966873982-1.57079632675     		φ = -0.72994036
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70136478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.185242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72994036 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.822502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80167 KachelY 82329 0.70136478 -0.72994036 40.185242 -41.822502
    Oben rechts KachelX + 1 80168 KachelY 82329 0.70141272 -0.72994036 40.187989 -41.822502
    Unten links KachelX 80167 KachelY + 1 82330 0.70136478 -0.72997608 40.185242 -41.824549
    Unten rechts KachelX + 1 80168 KachelY + 1 82330 0.70141272 -0.72997608 40.187989 -41.824549
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72994036--0.72997608) × R
    3.57200000000724e-05 × 6371000     		dl = 227.572120000461m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72994036--0.72997608) × R
    3.57200000000724e-05 × 6371000     		dr = 227.572120000461m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70136478-0.70141272) × cos(-0.72994036) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.745214173124612 × 6371000     		do = 227.607590284923m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70136478-0.70141272) × cos(-0.72997608) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.745190353653356 × 6371000     		du = 227.600315205289m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72994036)-sin(-0.72997608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.745214173124612-0.745190353653356)×R²
    abs(0.70141272-0.70136478)×2.38194712557371e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38194712557371e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38194712557371e-05×40589641000000     		ar = 51796.314052108m²