Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80167 / 82263
↖ ↑ ↗
← S 41.687271°
E 40.185242°		 ← 228.09 m → S 41.687271°
E 40.187989°		 →
↑
228.08 m
↓
↑
228.08 m
↓
S 41.689322°
E 40.185242°		 ← 228.08 m →
52 022 m²		 S 41.689322°
E 40.187989°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80167 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82263 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611629486083984 y=0.627620697021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611629486083984 × 217)
    floor (0.611629486083984 × 131072)
    floor (80167.5)     		tx = 80167
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627620697021484 × 217)
    floor (0.627620697021484 × 131072)
    floor (82263.5)     		ty = 82263
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80167 / 82263 ti = "17/80167/82263"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80167/82263.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80167 ÷ 217
    80167 ÷ 131072     		x = 0.611625671386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82263 ÷ 217
    82263 ÷ 131072     		y = 0.627616882324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611625671386719 × 2 - 1) × π
    0.223251342773438 × 3.1415926535     		Λ = 0.70136478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627616882324219 × 2 - 1) × π
    -0.255233764648438 × 3.1415926535     		Φ = -0.801840519944679
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70136478} λ = 0.70136478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.801840519944679))-π/2
    2×atan(0.448502725784348)-π/2
    2×0.421608094241549-π/2
    0.843216188483097-1.57079632675     		φ = -0.72758014
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70136478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.185242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72758014 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.687271°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80167 KachelY 82263 0.70136478 -0.72758014 40.185242 -41.687271
    Oben rechts KachelX + 1 80168 KachelY 82263 0.70141272 -0.72758014 40.187989 -41.687271
    Unten links KachelX 80167 KachelY + 1 82264 0.70136478 -0.72761594 40.185242 -41.689322
    Unten rechts KachelX + 1 80168 KachelY + 1 82264 0.70141272 -0.72761594 40.187989 -41.689322
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72758014--0.72761594) × R
    3.57999999999192e-05 × 6371000     		dl = 228.081799999485m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72758014--0.72761594) × R
    3.57999999999192e-05 × 6371000     		dr = 228.081799999485m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70136478-0.70141272) × cos(-0.72758014) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.746785950158741 × 6371000     		do = 228.087651448687m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70136478-0.70141272) × cos(-0.72761594) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.746762140372289 × 6371000     		du = 228.080379327041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72758014)-sin(-0.72761594))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.746785950158741-0.746762140372289)×R²
    abs(0.70141272-0.70136478)×2.38097864521114e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38097864521114e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38097864521114e-05×40589641000000     		ar = 52021.8127862231m²