Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80166 / 82202
↖ ↑ ↗
← S 41.562032°
E 40.182495°		 ← 228.53 m → S 41.562032°
E 40.185242°		 →
↑
228.53 m
↓
↑
228.53 m
↓
S 41.564087°
E 40.182495°		 ← 228.52 m →
52 225 m²		 S 41.564087°
E 40.185242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80166 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82202 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611621856689453 y=0.627155303955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611621856689453 × 217)
    floor (0.611621856689453 × 131072)
    floor (80166.5)     		tx = 80166
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627155303955078 × 217)
    floor (0.627155303955078 × 131072)
    floor (82202.5)     		ty = 82202
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80166 / 82202 ti = "17/80166/82202"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80166/82202.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80166 ÷ 217
    80166 ÷ 131072     		x = 0.611618041992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82202 ÷ 217
    82202 ÷ 131072     		y = 0.627151489257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611618041992188 × 2 - 1) × π
    0.223236083984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.70131684
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627151489257812 × 2 - 1) × π
    -0.254302978515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.798916369067856
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70131684} λ = 0.70131684}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.798916369067856))-π/2
    2×atan(0.449816134790381)-π/2
    2×0.422701013151564-π/2
    0.845402026303127-1.57079632675     		φ = -0.72539430
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70131684} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.182495°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72539430 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.562032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80166 KachelY 82202 0.70131684 -0.72539430 40.182495 -41.562032
    Oben rechts KachelX + 1 80167 KachelY 82202 0.70136478 -0.72539430 40.185242 -41.562032
    Unten links KachelX 80166 KachelY + 1 82203 0.70131684 -0.72543017 40.182495 -41.564087
    Unten rechts KachelX + 1 80167 KachelY + 1 82203 0.70136478 -0.72543017 40.185242 -41.564087
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72539430--0.72543017) × R
    3.58699999999379e-05 × 6371000     		dl = 228.527769999604m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72539430--0.72543017) × R
    3.58699999999379e-05 × 6371000     		dr = 228.527769999604m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70131684-0.70136478) × cos(-0.72539430) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.748237889482365 × 6371000     		do = 228.53111109104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70131684-0.70136478) × cos(-0.72543017) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.748214091748096 × 6371000     		du = 228.52384265044m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72539430)-sin(-0.72543017))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.748237889482365-0.748214091748096)×R²
    abs(0.70136478-0.70131684)×2.379773426886e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.379773426886e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.379773426886e-05×40589641000000     		ar = 52224.8746784736m²