Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80164 / 82213
↖ ↑ ↗
← S 41.584634°
E 40.177002°		 ← 228.40 m → S 41.584634°
E 40.179748°		 →
↑
228.46 m
↓
↑
228.46 m
↓
S 41.586689°
E 40.177002°		 ← 228.40 m →
52 181 m²		 S 41.586689°
E 40.179748°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82213 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611606597900391 y=0.627239227294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611606597900391 × 217)
    floor (0.611606597900391 × 131072)
    floor (80164.5)     		tx = 80164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627239227294922 × 217)
    floor (0.627239227294922 × 131072)
    floor (82213.5)     		ty = 82213
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80164 / 82213 ti = "17/80164/82213"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80164/82213.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80164 ÷ 217
    80164 ÷ 131072     		x = 0.611602783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82213 ÷ 217
    82213 ÷ 131072     		y = 0.627235412597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611602783203125 × 2 - 1) × π
    0.22320556640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.70122097
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627235412597656 × 2 - 1) × π
    -0.254470825195312 × 3.1415926535     		Φ = -0.799443674963677
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70122097} λ = 0.70122097}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.799443674963677))-π/2
    2×atan(0.449579006615507)-π/2
    2×0.422503772533902-π/2
    0.845007545067804-1.57079632675     		φ = -0.72578878
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70122097} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.177002°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72578878 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.584634°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80164 KachelY 82213 0.70122097 -0.72578878 40.177002 -41.584634
    Oben rechts KachelX + 1 80165 KachelY 82213 0.70126890 -0.72578878 40.179748 -41.584634
    Unten links KachelX 80164 KachelY + 1 82214 0.70122097 -0.72582464 40.177002 -41.586689
    Unten rechts KachelX + 1 80165 KachelY + 1 82214 0.70126890 -0.72582464 40.179748 -41.586689
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72578878--0.72582464) × R
    3.58599999999987e-05 × 6371000     		dl = 228.464059999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72578878--0.72582464) × R
    3.58599999999987e-05 × 6371000     		dr = 228.464059999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70122097-0.70126890) × cos(-0.72578878) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.747976121197555 × 6371000     		do = 228.403506760022m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70122097-0.70126890) × cos(-0.72582464) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.747952319515267 × 6371000     		du = 228.396238630001m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72578878)-sin(-0.72582464))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.747976121197555-0.747952319515267)×R²
    abs(0.70126890-0.70122097)×2.38016822882159e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.38016822882159e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.38016822882159e-05×40589641000000     		ar = 52181.1622251145m²